ビンゴゲームの確率

　懇親会の定番ビンゴゲーム。ルールが易しくて準備も簡単です。しかしよく経験するのがなかなか上がりが出ない事。次々に読み上げないとゲームが進まないし、早すぎると苦情がでるし、司会者がいらいらしはじめることもあります。

　どのような具合に上がりが出るのか興味が湧き確率を計算してみました。ネット上にはすでに色々な解がアップされていますので今更とも思いますが、せっかくあれこれ考えてみたので(^_^;)。

　まず数字の最大値をｍとします。これは７５であることが多いようです。

　５個の数字で構成される軸が上がる確率ａは、開いた数字の個数をｎとすると

　　　　　a=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)

　真ん中のＦＲＥＥを含む軸が上がる確率ｂは、４個の数字で構成されるので

　　　　　b=n(n-1)(n-2)(n-3)/m(m-1)(m-2)(m-3)

　ＦＲＥＥを含む軸は４本、含まない軸は８本ありますので、ビンゴの確率ｃは

　 c=1-(1-a)^8*(1-b)^4　これが答えとなります。

　この式は数字の組み合わせだけしか考えてなくて、５×５のマス上に配置したとき何らかの制限があるかもしれませんが無視します(*_*)。

　さてｍを７５としてエクセルで計算してみますと

n	c	n	c	n	c	n	c	n	c	n	c	n	c
4	0.0003%	14	0.4215%	24	5.3372%	34	24.8464%	44	62.9775%	54	94.0673%	64	99.9511%
6	0.0052%	16	0.7987%	26	7.6933%	36	31.2977%	46	71.0238%	56	96.7949%	66	99.9920%
8	0.0256%	18	1.3957%	28	10.7422%	38	38.5361%	48	78.4264%	58	98.4789%	68	99.9993%
10	0.0808%	20	2.2900%	30	14.5765%	40	46.4006%	50	84.8641%	60	99.3871%	70	100.0000%
12	0.1994%	22	3.5709%	32	19.2667%	42	54.6511%	52	90.1089%	62	99.8003%	72	100.0000%

　これをグラフにすると

　結論は、よく見かける最大値７５のビンゴカードの場合、１８個数字を読み上げて約１．４％の人が上がります。１００人位のパーティであればこの辺でビンゴ第１号が出てくるでしょう。２４個読み上げると約５％。２～３０人のパーティならたぶんビンゴが出ます。４０個ほど読み上げると半分の人が上がり。５０個でほとんどの人が上がります。

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