立体方陣と高次元方陣－三次元以上の魔方陣

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What's new

全斜四次元方陣の作成アルゴリズムにおいて，奇数次のアルゴリズムに不具合があった（正規方陣にならない場合があった）ので訂正しました．[2009年6月21日] New!
リンクと参考文献（方陣関連）に，Arie Breedijk 氏のサイト(英文)へのリンクを追加しました．[2009年6月21日] New!
高次元方陣（四次元以上）の作品集に，５次元８次の対称体相結 3,5-汎斜方陣を追加しました．[2009年6月13日] New!
高次元方陣（四次元以上）の作品集に，５次元８次の桂馬跳び方陣を追加しました．また，高次元の桂馬跳び方陣に関するコメントを追加しました．[2009年5月17日]
高次元方陣（四次元以上）の作品集に，５次元・７次元の４次桂馬跳び方陣を追加しました．[2009年4月13日]
メールアドレスを変更しました．[2008年9月7日]

過去の更新履歴はこちらを参照．

立体方陣・高次元方陣とは？

　立体方陣(magic cube) とは，数を立方体状に並べ，横方向(行, row)・縦方向(列, column)・高さ方向(柱, pillar)，および，４本の立体対角線(体斜, 3-斜，triagonal) の和が全て一定の数（定和）となるようにしたものである．いわば，３次元の魔方陣である．m 次立体方陣は，使われる数が１から m³ までの連続整数であるとき正規(normal)であるといい，そうでないとき非正規(non-normal)であるという．本サイトでは，原則として正規方陣のみを扱う．
　平面対角線(面斜, 2-斜，diagonal) は定和とならなくてもよい．全ての平面対角線が定和となる立体方陣は面斜立体方陣(diagonal magic cube) と呼ばれる．面斜立体方陣は，次数が５以上の場合に限って存在する．

　同様に，４次元の魔方陣として四次元方陣(magic tesseract) が考えられる．四次元方陣では，行・列・柱・四次元方向(file, 適当な日本語が思いつかない)，および８本の四次元対角線(4-斜，quadragonal) の和が全て定和となる．m 次の正規な四次元方陣では，使われる数は１から m⁴ までの連続整数である．四次元方陣のうち，全ての平面対角線（2-斜）および立体対角線（3-斜）が成立するものを全斜四次元方陣(strictly magic tesseract)と呼ぶ．現在知られている最小の全斜四次元方陣は，管理人が2004年に作成した８次全斜四次元方陣である．

　一般に，全ての２以上の整数 n に対して n 次元方陣が考えられる．Marian Trenkler 氏は，n 次元 m 次の正規な方陣が全ての整数 n, m (n ≧ 2, m ≧ 3）に対して存在することを証明した．

立体方陣・四次元方陣の例

３次立体方陣（定和42） : 最小次の立体方陣

第１面
10	24	8
23	7	12
9	11	22

第２面
26	1	15
3	14	25
13	27	2

第３面
6	17	19
16	21	5
20	4	18

４次立体方陣（定和130） [久留島義太(くるしまよしひろ, ?-1757)] : 世界初の立体方陣

第１面
1	62	63	4
44	23	22	41
24	43	42	21
61	2	3	64

第２面
60	7	6	57
17	46	47	20
45	18	19	48
8	59	58	5

第３面
56	11	10	53
29	34	35	32
33	30	31	36
12	55	54	9

第４面
13	50	51	16
40	27	26	37
28	39	38	25
49	14	15	52

５次面斜立体方陣（定和315） [Walter Trump & Christian Boyer, 2003] : 最小次の面斜立体方陣

第１面
25	16	80	104	90
115	98	4	1	97
42	111	85	2	75
66	72	27	102	48
67	18	119	106	5

第２面
91	77	71	6	70
52	64	117	69	13
30	118	21	123	23
26	39	92	44	114
116	17	14	73	95

第３面
47	61	45	76	86
107	43	38	33	94
89	68	63	58	37
32	93	88	83	19
40	50	81	65	79

第４面
31	53	112	109	10
12	82	34	87	100
103	3	105	8	96
113	57	9	62	74
56	120	55	49	35

第５面
121	108	7	20	59
29	28	122	125	11
51	15	41	124	84
78	54	99	24	60
36	110	46	22	101

３次四次元方陣（定和123） : 最小次の四次元方陣

面 (1,1)
65	24	34
22	35	66
36	64	23

面 (1,2)
31	71	21
72	19	32
20	33	70

面 (1,3)
27	28	68
29	69	25
67	26	30

面 (2,1)
6	43	74
44	75	4
73	5	45

面 (2,2)
80	3	40
1	41	81
42	79	2

面 (2,3)
37	77	9
78	7	38
8	39	76

面 (3,1)
52	56	15
57	13	53
14	54	55

面 (3,2)
12	49	62
50	63	10
61	11	51

面 (3,3)
59	18	46
16	47	60
48	58	17

３次の立体方陣は４個，３次の四次元方陣は58個存在することが知られている．４次以上の立体方陣・四次元方陣の個数は知られていない．なお，Water Trump氏によれば，４次の対称な立体方陣の個数はちょうど 44,447,308,800個である．
他の立体方陣の例はこちら．他の四次元方陣の例はこちら．

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「立体方陣と高次元方陣－三次元以上の魔方陣」 http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/jp/
Copyright © 2004-2009, Mitsutoshi Nakamura. All rights reserved.

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