全斜四次元方陣の作成アルゴリズム

1. ８の倍数次

　全斜四次元方陣は，次数が８の倍数の場合に存在する．この場合，対称な全斜四次元方陣も存在する．なお，全斜四次元方陣が存在するための必要十分条件は知られていない．

1.1 m = 8x の場合（対称な全斜方陣）

求める全斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijk = T_m(b_ijkh) m³ + T_m(c_ijkh) m² + T_m(d_ijkh) m + T_m(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ T_m(i) + (m/4) T_m(j) + (m/4) T_m(k) + (m/4) T_m(h)   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ (m/4) T_m(i) + T_m(j) + (m/4) T_m(k) + (m/4) T_m(h)   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ (m/4) T_m(i) + (m/4) T_m(j) + T_m(k) + (m/4) T_m(h)   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ (m/4) T_m(i) + (m/4) T_m(j) + (m/4) T_m(k) + T_m(h)   (mod. m),   0 ≦ e_ijkh ＜ m,
T_m(x) = x (x ＜ m/2)， 3m/2-1-x (その他)．

2. 奇数次

　奇数次の全斜四次元方陣は，次数が15以上の場合に存在する．奇数次の対称な全斜四次元方陣も，同じ条件下で存在する．
以下，L₁₃ = lcm{y| 3≦ y ≦13, y は奇数} = 3²・5・7・11・13 とおく．（lcm は最小公倍数を表す．なお，gcd は最大公約数を表す．）

2.1 m = 2x+1, m ≧ 15, gcd(m, L₁₃) = 1 の場合（対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜）

この場合，m は 3, 5, 7, 11, 13 のいずれでも割り切れない．
求める全斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．なお，この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある．
a_ijkh = b_ijkh m³ + c_ijkh m² + d_ijkh m + e_ijkh + 1,

ここで
b_ijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m.

この方陣は，XmlHypercube format（Aale de Winkel 氏による）によって以下のように表現される．
   LP({2,4,1,7}+(m+13)/2,{2,-4,1,7}+(m+5)/2,{2,4,-1,7}+(m+11)/2,{2,4,7,-1}+(m+11)/2)

行列式
| 2 4 1 7|
| 2 -4 1 7|
| 2 4 -1 7|
| 2 4 7 -1|
の値は -256 = -2⁸ であり，任意の奇数と互いに素であるので，この式によって与えられる方陣は常に正規方陣となる．

2.2 m = 2x+1, m ≧ 15, 1 ＜ gcd(m, L₁₃) ＜ m の場合（対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜）

この場合，q = gcd(m, L₁₃), p = m/q とおくと，p ＞ 1, q ＞ 1 である．
求める全斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．なお，この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある．
a_ijkh = S_m,q(b_ijkh) m³ + S_m,q(c_ijkh) m² + S_m,q(d_ijkh) m + S_m,q(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m.
S_m,q(x) = Q_p,q([x/q], x mod q).

ただし，[x] は x を超えない最大の整数を表す．

Q_p,q(x, y) （0 ≦ x ＜ p, 0 ≦ y ＜ q）は，以下の式によって与えられる．
Q_p,q(x, y) = qx + y （0 ＜ x ＜ p-1, x が偶数）,
qx + (q-1-y) （0 ＜ x ＜ p-1, x が奇数）,
y/2 + (q-1)/2 （x = 0, y が偶数）,
(y-1)/2 （x = 0, y が奇数）,
y/2 + (p-1)q （x = p-1, y が偶数）,
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 （x = p-1, y が奇数）.

関数 Q_p,q(x, y), S_m,q(x) の具体例については，全汎斜立体方陣のページを参照のこと．

2.3 m = 2x+1, m ≧ 15, gcd(m, L₁₃) = m の場合（対称全斜方陣・面汎斜・体汎斜）

この場合，m は L₁₃ = 3²・5・7・11・13 の約数である．
求める全斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．なお，この方法で作られる方陣は面汎斜かつ体汎斜でもある．
a_ijkh = S^*_m(b_ijkh) m³ + S^*_m(c_ijkh) m² + S^*_m(d_ijkh) m + S^*_m(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ 2i + 4j + k + 7h + (m+13)/2   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ 2i - 4j + k + 7h + (m+5)/2   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ 2i + 4j - k + 7h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ 2i + 4j + 7k - h + (m+11)/2   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m.

S^*_m(x) は以下のように定義される．

S^*_m(x) = R_q,m/q(x mod q, x mod (m/q)) - 1,

ここで，q は m の最大の素因数である（q は 5, 7, 11, 13 のいずれかである）．
R_q,m/q は (q,m/q)-対称長方陣である．詳細は長方陣のページを参照．

	blog SEO tool