全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

1. 16の倍数次

　偶数次の全汎斜四次元方陣は，次数が16の倍数の場合に限って存在する．このとき，次数が32次以上の場合は，対称な全汎斜四次元方陣（4-相結または非4-相結）が存在する．

1.1 非対称な全汎斜方陣（完備・4-相結） (m = 16x)

求める全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．なお，この方法で作られる方陣は完備かつ4-相結になる．
a_ijkh = T_m(b_ijkh) m³ + T_m(c_ijkh) m² + T_m(d_ijkh) m + T_m(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ i + (m/8)j + (m/4)k + (m/2)h   (mod. m),   0≦b_ijkh＜m,
c_ijkh ≡ (m/2)i + j + (m/8)k + (m/4)h   (mod. m),   0≦c_ijkh＜m,
d_ijkh ≡ (m/4)i + (m/2)j + k + (m/8)h   (mod. m),   0≦d_ijkh＜m,
e_ijkh ≡ (m/8)i + (m/4)j + (m/2)k + h   (mod. m),   0≦e_ijkh＜m,
T_m(x) = x （x＜m/2 のとき）,　3m/2-1-x （その他）    （体汎斜立体方陣のものと同一）.

この方陣は，XmlHypercube format（Aale de Winkel 氏による）によって以下のように表現される．
m = 16:
   LP({1,2,4,8},{8,1,2,4},{4,8,1,2},{2,4,8,1})= [0,1,2,3,4,5,6,7,15,14,13,12,11,10,9,8]
一般に:
   LP({1,m/8,m/4,m/2},{m/2,1,m/8,m/4},{m/4,m/2,1,m/8},{m/8,m/4,m/2,1})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]

m ≧ 32 で，m が32の倍数であるとき（全汎斜・完備・非4-相結）:
   LP({1,m/16,m/8,m/4},{m/4,1,m/16,m/8},{m/8,m/4,1,m/16},{m/16,m/8,m/4,1})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]
m ≧ 32 で，m が32の倍数ではない16の倍数であるとき（全汎斜・完備・非4-相結）:
   LP({8,m/16,m/8,m/4},{m/4,8,m/16,m/8},{m/8,m/4,8,m/16},{m/16,m/8,m/4,8})= [0,..,m/2-1,m-1,...,m/2]

全汎斜立体方陣の場合と比較してみよ．

1.2 対称な全汎斜方陣 (m = 16x, m ≧ 32)（非4-相結）

1.2.1 m = 32x の場合

求める対称な全汎斜四次元方陣（非4-相結） a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = U_m(b_ijkh) m³ + U_m(c_ijkh) m² + U_m(d_ijkh) m + U_m(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ i + (m/16)j + (m/8)k + (m/4)h + 7m/32   (mod. m),   0≦b_ijkh＜m,
c_ijkh ≡ (m/4)i + j + (m/16)k + (m/8)h + 7m/32   (mod. m),   0≦c_ijkh＜m,
d_ijkh ≡ (m/8)i + (m/4)j + k + (m/16)h + 7m/32   (mod. m),   0≦d_ijkh＜m,
e_ijkh ≡ (m/16)i + (m/8)j + (m/4)k + h + 7m/32   (mod. m),   0≦e_ijkh＜m,
U_m(x) = x (x ＜ m/4 または x ≧ 3m/4)， m-1-x (その他)    （体汎斜立体方陣のものと同一）．

この方陣は，XmlHypercube formats（Aale de Winkel 氏による）によって以下のように表現される．
m = 32:
   LP({1,2,4,8},{8,1,2,4},{4,8,1,2},{2,4,8,1})= [7,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,24,25,26,27,28,29,30,31,0,1,2,3,4,5,6]

1.2.2 m = 32x+16, m ≧ 48 の場合

求める対称な全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = U_m,8(b_ijkh) m³ + U_m,8(c_ijkh) m² + U_m,8(d_ijkh) m + U_m,8(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ 8i + (m/16)j + (m/8)k + (m/4)h + 7(m/16+1)/2   (mod. m),   0≦b_ijkh＜m,
c_ijkh ≡ (m/4)i + 8j + (m/16)k + (m/8)h + 7(m/16+1)/2   (mod. m),   0≦c_ijkh＜m,
d_ijkh ≡ (m/8)i + (m/4)j + 8k + (m/16)h + 7(m/16+1)/2   (mod. m),   0≦d_ijkh＜m,
e_ijkh ≡ (m/16)i + (m/8)j + (m/4)k + 8h + 7(m/16+1)/2   (mod. m),   0≦e_ijkh＜m.
U_m,8(x) = P_m,16(x mod 16, x mod (m/16)).

P_m,16(x, y) (0≦x＜16, 0≦y＜m/16) は次の表によって与えられる．ただし，e = m/16, q = (m/16-3)/2 である．
m = 48 (q = 0) の場合は，表の中央部（濃緑色の部分）のみが有効である．

1.3 対称かつ4-相結な全汎斜方陣 (m = 16x, m ≧ 32)

1.3.1 m = 32x の場合

求める対称かつ4-相結な全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = b_ijkh m³ + c_ijkh m² + d_ijkh m + e_ijkh + 1,

ここで
b_ijkh = U_m(b^*_ijkh) (i が偶数), m - 1 - U_m(b^*_ijkh) (i が奇数),
c_ijkh = U_m(c^*_ijkh) (j が偶数), m - 1 - U_m(c^*_ijkh) (j が奇数),
d_ijkh = U_m(d^*_ijkh) (k が偶数), m - 1 - U_m(d^*_ijkh) (k が奇数),
e_ijkh = U_m(e^*_ijkh) (h が偶数), m - 1 - U_m(e^*_ijkh) (h が奇数),

b^*_ijkh ≡ j^* + (m/16)k^* + (m/8)h^*   (mod. m),   0 ≦ b^*_ijkh ＜ m,
c^*_ijkh ≡ k^* + (m/16)h^* + (m/8)i^*   (mod. m),   0 ≦ c^*_ijkh ＜ m,
d^*_ijkh ≡ h^* + (m/16)i^* + (m/8)j^*   (mod. m),   0 ≦ d^*_ijkh ＜ m,
e^*_ijkh ≡ i^* + (m/16)j^* + (m/8)k^*   (mod. m),   0 ≦ e^*_ijkh ＜ m,

i^* = i (i が偶数), m - 1 - i (i が奇数),
j^* = j (j が偶数), m - 1 - j (j が奇数),
k^* = k (k が偶数), m - 1 - k (k が奇数),
h^* = h (h が偶数), m - 1 - h (h が奇数),

U_m(x) = x (x ＜ m/4 または x ≧ 3m/4)， m-1-x (その他)    （1.2.1 での定義と同一）．

1.3.2 m = 32x+16, m ≧ 48 の場合

求める対称かつ4-相結な全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = b_ijkh m³ + c_ijkh m² + d_ijkh m + e_ijkh + 1,

ここで
b_ijkh = U_m,8(b^*_ijkh) (i が偶数), m - 1 - U_m,4(b^*_ijkh) (i が奇数),
c_ijkh = U_m,8(c^*_ijkh) (j が偶数), m - 1 - U_m,4(c^*_ijkh) (j が奇数),
d_ijkh = U_m,8(d^*_ijkh) (k が偶数), m - 1 - U_m,4(d^*_ijkh) (k が奇数),
e_ijkh = U_m,8(e^*_ijkh) (h が偶数), m - 1 - U_m,4(d^*_ijkh) (h が奇数),

b^*_ijkh ≡ 4j^* + (m/16)k^* + (m/8)h^*   (mod. m),   0 ≦ b^*_ijkh ＜ m,
c^*_ijkh ≡ 4k^* + (m/16)h^* + (m/8)i^*   (mod. m),   0 ≦ c^*_ijkh ＜ m,
d^*_ijkh ≡ 4h^* + (m/16)i^* + (m/8)j^*   (mod. m),   0 ≦ d^*_ijkh ＜ m,
e^*_ijkh ≡ 4i^* + (m/16)j^* + (m/8)k^*   (mod. m),   0 ≦ e^*_ijkh ＜ m,

i^* = i (i が偶数), m - 1 - i (i が奇数),
j^* = j (j が偶数), m - 1 - j (j が奇数),
k^* = k (k が偶数), m - 1 - k (k が奇数),
h^* = h (h が偶数), m - 1 - h (h が奇数),

U_m,8(x) = P_m,16(x mod 16, x mod (m/16)).    （1.2.2 での定義と同一）．

2. 奇数次

　奇数次の全汎斜四次元方陣は，次数が17以上の場合に限って存在する．奇数次の対称な全汎斜四次元方陣も，同じ条件下で存在する．
以下，L₁₅ = lcm{y| 3≦ y ≦15, y は奇数} = 3²・5・7・11・13 とおく．（lcm は最小公倍数を表す．なお，gcd は最大公約数を表す．）

2.1 m = 2x+1, m ≧ 17, gcd(m, L₁₅) = 1 の場合（対称全汎斜方陣）

この場合，m は 3, 5, 7, 11, 13 のいずれでも割り切れない．
求める全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = b_ijkh m³ + c_ijkh m² + d_ijkh m + e_ijkh + 1,

ここで
b_ijkh ≡ i + 2j + 4k + 8h + 7   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ i - 2j + 4k + 8h + 5   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ i + 2j - 4k + 8h + 3   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ i + 2j + 4k - 8h - 1   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m.

この方陣は，XmlHypercube format（Aale de Winkel 氏による）によって以下のように表現される．
   LP({1,2,4,8}+7,{1,-2,4,8}+5,{1,2,-4,8}+3,{1,2,4,-8}-1)

2.2 m = 2x+1, m ≧ 17, 1 ＜ gcd(m, L₁₅) ＜ m の場合（対称全汎斜方陣）

この場合，q = gcd(m, L₁₅), p = m/q とおくと，p ＞ 1, q ＞ 1 である．
求める全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = S_m,q(b_ijkh) m³ + S_m,q(c_ijkh) m² + S_m,q(d_ijkh) m + S_m,q(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ i + 2j + 4k + 8h + 7   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ i - 2j + 4k + 8h + 5   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ i + 2j - 4k + 8h + 3   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ i + 2j + 4k - 8h - 1   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
S_m,q(x) = Q_p,q([x/q], x mod q).

ただし，[x] は x を超えない最大の整数を表す．

Q_p,q(x, y) （0 ≦ x ＜ p, 0 ≦ y ＜ q）は，以下の式によって与えられる．
Q_p,q(x, y) = qx + y （0 ＜ x ＜ p-1, x が偶数）,
qx + (q-1-y) （0 ＜ x ＜ p-1, x が奇数）,
y/2 + (q-1)/2 （x = 0, y が偶数）,
(y-1)/2 （x = 0, y が奇数）,
y/2 + (p-1)q （x = p-1, y が偶数）,
(y-1)/2 + pq - (q-1)/2 （x = p-1, y が奇数）.

関数 Q_p,q(x, y), S_m,q(x) の具体例については，全汎斜立体方陣のページを参照のこと．

2.3 m = 2x+1, m ≧ 17, gcd(m, L₁₅) = m の場合（対称全汎斜方陣）

この場合，m は L₁₅ = 3²・5・7・11・13 の約数である．
求める全汎斜四次元方陣 a_ijkh (i,j,k,h = 0,...,m-1) は以下の式によって与えられる．
a_ijkh = S^**_m(b_ijkh) m³ + S^**_m(c_ijkh) m² + S^**_m(d_ijkh) m + S^**_m(e_ijkh) + 1,

ここで
b_ijkh ≡ i + 2j + 4k + 8h + 7   (mod. m),   0 ≦ b_ijkh ＜ m,
c_ijkh ≡ i - 2j + 4k + 8h + 5   (mod. m),   0 ≦ c_ijkh ＜ m,
d_ijkh ≡ i + 2j - 4k + 8h + 3   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m,
e_ijkh ≡ i + 2j + 4k - 8h - 1   (mod. m),   0 ≦ d_ijkh ＜ m.

ただし，[x] は x を超えない最大の整数を表す．

S^**_m(x) は以下のように定義される．

(1) m が 45 以外である場合
S^**_m(x) = R_q,m/q(x mod q, x mod (m/q)) - 1,

ここで，q は m の最大の素因数である（q は 7, 11, 13 のいずれかである）．
R_q,m/q は (q,m/q)-対称長方陣である．詳細は長方陣のページを参照．

(2) m が 45 である場合
S^**_m(x) = R_3,3,5((x/3) mod 3, x mod 3, x mod 5) - 1,

R_3,3,5 は　(3,3,5)-対称長方陣である．具体的には以下の表によって与えられる．

(3,3,5)-対称長方陣 （(3,5,3)-長方陣 R_3,5,3 の向きで表記）

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