立体方陣・四次元方陣の作成アルゴリズム

0. 目次

1. 立体方陣
   1. 体汎斜立体方陣（3-汎斜）
   2. 面斜立体方陣（2,3-斜）
   3. 体汎斜面斜立体方陣（3-汎斜・2,3-斜）
   4. 面汎斜立体方陣（2-汎斜・2,3-斜）
   5. 全汎斜立体方陣（2,3-汎斜）
2. 四次元方陣
   1. 汎斜四次元方陣（4-汎斜）
   2. 体汎斜四次元方陣（3-汎斜・3,4-斜）
   3. 3,4-汎斜四次元方陣
   4. 全斜四次元方陣（2,3,4-斜）
   5. 汎斜全斜四次元方陣（4-汎斜・2,3,4-斜）
   6. 全汎斜四次元方陣（2,3,4-汎斜）

1. 立体方陣の作成アルゴリズム

　立体方陣の一般的作成アルゴリズムを，体汎斜（3-汎斜）・面斜（2,3-斜）・体汎斜面斜（3-汎斜・2,3-斜）・面汎斜（2-汎斜・2,3-斜）・全汎斜（2,3-汎斜）の各クラスについて解説する．体汎斜・面斜の各クラスについては，半偶数次（(4x+2)次）の立体方陣の一般的作成アルゴリズムについても紹介する．半偶数次の立体方陣は，従来，作成が困難であるとされていたものである．
　以下，m を方陣の次数とし，作成する方陣を (a_ijk) (i,j,k = 0,...,m-1) で表す（添字が０から始まることに注意）．なお，gcd(x, y) はx と y の最大公約数を表す．
　用語の定義についてはこちらを参照．立体方陣のクラスについてはこちらを参照．

1.1 体汎斜立体方陣（3-汎斜）の作成アルゴリズム

　体汎斜立体方陣（全ての立体汎対角線が成立）は，次数が４以上の場合には常に存在する．対称な体汎斜立体方陣も，同じ条件下で存在する．なお，上位クラスである体汎斜面斜立体方陣・全汎斜立体方陣の各作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x の場合
  • 非対称 （完備・面相結）
  • 対称
• m = 2x+1, m ≧ 5 の場合
  • m が３の倍数でない場合（対称）
  • m が３の倍数である場合（対称）
• m = 4x+2, m ≧ 6 の場合
  • 非対称 （完備）
  • 対称

1.2 面斜立体方陣（2,3-斜）の作成アルゴリズム

　面斜立体方陣（全ての平面対角線が成立）は，次数が５以上の場合に限って存在する．ここでは，次数が７以上の場合についてのアルゴリズムを紹介する．なお，上位クラスである体汎斜面斜立体方陣・面汎斜立体方陣・全汎斜立体方陣の各作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x, m ≧ 8 の場合（対称）
• m = 2x+1, m ≧ 7 の場合（対称）
• m = 4x+2, m ≧ 10 の場合（非対称）

1.3 体汎斜面斜立体方陣（3-汎斜・2,3-斜）の作成アルゴリズム

　体汎斜面斜立体方陣（全ての立体汎対角線および平面対角線が成立）は，偶数次の場合には，次数が８以上でかつ４の倍数の場合に限って存在する．ここでは，次数が12以上の４の倍数の場合についてのアルゴリズムを紹介する．なお，上位クラスである全汎斜立体方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x, m ≧ 12 の場合（非対称・完備）

1.4 面汎斜立体方陣（2-汎斜・2,3-斜）の作成アルゴリズム

　面汎斜立体方陣（全ての平面汎対角線が成立）は，次数が８の倍数の場合，または，次数が７以上の奇数の場合に限って存在する．対称な面汎斜立体方陣も，同じ条件下で存在する．なお，上位クラスである全汎斜立体方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 8x の場合
  • 非対称
  • 対称（m ≧ 16）
    • m = 16x の場合
    • m = 16x+8, m ≧ 24 の場合
• m = 2x+1, m ≧ 7 の場合
  • gcd(m, 3x5) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, 3x5) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, 3x5) = m である場合（対称）（m = 15）

1.5 全汎斜立体方陣（2,3-汎斜）の作成アルゴリズム

　全汎斜立体方陣（全ての立体汎対角線および平面汎対角線が成立）は，次数が８の倍数の場合，または，次数が９以上の奇数の場合に限って存在する．このとき，次数が９次以上の場合は，対称な全汎斜立体方陣が存在する．さらに，次数が16以上の８の倍数の場合には，対称かつ体相結な全汎斜立体方陣が存在する．
　なお，面相結な全汎斜立体方陣は存在しない．

• m = 8x の場合
  • 非対称（完備・体相結）
  • 対称（非体相結）（m ≧ 16）
    • m = 16x の場合
    • m = 16x+8, m ≧ 24 の場合
  • 対称・体相結（m ≧ 16）
    • m = 16x の場合
    • m = 16x+8, m ≧ 24 の場合
• m = 2x+1, m ≧ 9 の場合
  • gcd(m, 3x5x7) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, 3x5x7) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, 3x5x7) = m である場合（対称）（m = 15, 21, 35, 105）

　四次元方陣の一般的作成アルゴリズムを，汎斜（4-汎斜）・体汎斜（3-汎斜・3,4-斜）・3,4-汎斜・全斜（2,3,4-斜）・汎斜全斜（4-汎斜・2,3,4-斜）・全汎斜（2,3,4-汎斜）の各クラスについて解説する．体汎斜のクラスについては，半偶数次（(4x+2)次）の四次元方陣の一般的作成アルゴリズムについても紹介する．半偶数次の四次元方陣は，従来，作成が困難であるとされていたものである．
　以下，m を方陣の次数とし，作成する方陣を (a_ijkh) (i,j,k,h = 0,...,m-1) で表す（添字が０から始まることに注意）．なお，gcd(x, y) はx と y の最大公約数を表す．
　用語の定義についてはこちらを参照．四次元方陣のクラスについてはこちらを参照．

2.1 汎斜四次元方陣（4-汎斜）の作成アルゴリズム

　汎斜四次元方陣（四次元汎対角線が成立）は，次数が４の倍数，または，７以上の奇数の場合に限って存在する（３次・５次・半偶数次の汎斜四次元方陣は存在しない）．このとき，次数が７次以上の場合は，対称な汎斜四次元方陣が存在する．なお，上位クラスである3,4-汎斜四次元方陣および全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x の場合
• m = 2x+1, m ≧ 7 の場合
  • gcd(m, 3x5) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, 3x5) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, 3x5) = m である場合（対称）（m = 15）

2.2 体汎斜四次元方陣（3-汎斜・3,4-斜）の作成アルゴリズム

　体汎斜四次元方陣（三次元汎対角線が成立）は，３次・６次を除く全ての次数に対して存在する（３次の体汎斜四次元方陣は存在しない．また，６次の体汎斜四次元方陣は存在するか否か知られていない）．４の倍数次および奇数次の場合は，対称な体汎斜四次元方陣が存在する．なお，上位クラスである3,4-汎斜四次元方陣および全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x の場合
• m = 2x+1, m ≧ 5 の場合
  • m が３の倍数でない場合（対称）
  • m が３の倍数である場合（対称）
• m = 4x+2, m ≧10 の場合（非対称）

2.3 3,4-汎斜四次元方陣の作成アルゴリズム

　3,4-汎斜四次元方陣（三次元および四次元汎対角線が成立）は，次数が４の倍数，または，９以上の奇数の場合に限って存在する（３次・５次・７次・半偶数次の3,4-汎斜四次元方陣は存在しない）．このとき，次数が８次以上の場合は，対称な3,4-汎斜四次元方陣が存在する．なお，上位クラスである全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x の場合
  • 非対称（完備・2-相結）
  • 対称（2-相結）（m ≧ 8）
• m = 2x+1, m ≧ 9 の場合
  • gcd(m, 3x5x7) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, 3x5x7) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, 3x5x7) = m である場合（対称）

2.4 全斜四次元方陣（2,3,4-斜）の作成アルゴリズム

　全斜四次元方陣（全ての次元の対角線が成立）が存在するための必要十分条件は知られていない．ただし，８以上の４の倍数次，および，15次以上の奇数次に対しては存在し，３次・４次・５次に対しては存在しない．ここでは，次数が８の倍数の場合，および，奇数次についてのアルゴリズムを紹介する．なお，上位クラスである汎斜全斜四次元方陣，および，全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 8x の場合（対称）
• m = 2x+1, m ≧ 15 の場合
  • gcd(m, L₁₃) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, L₁₃) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, L₁₃) = m である場合（対称）

2.5 汎斜全斜四次元方陣（4-汎斜・2,3,4-斜）の作成アルゴリズム

　偶数次の汎斜全斜四次元方陣（四次元汎対角線および全ての次元の対角線が成立）は，次数が８以上の４の倍数の場合に限って存在する．奇数次の汎斜全斜四次元方陣が存在するための条件は知られていない．なお，上位クラスである全汎斜四次元方陣の作成アルゴリズムも参照のこと．

• m = 4x, m ≧ 8 の場合（非対称）

2.6 全汎斜四次元方陣（2,3,4-汎斜）の作成アルゴリズム

　全汎斜四次元方陣（全ての次元の汎対角線が成立）は，次数が16の倍数，または，17以上の奇数の場合に限って存在する．このとき，次数が17次以上の場合は，対称な全汎斜四次元方陣が存在する．さらに，次数が32以上の16の倍数の場合には，対称かつ4-相結な全汎斜四次元方陣が存在する．
　なお，2-相結（面相結）または3-相結（体相結）な全汎斜四次元方陣は存在しない．

• m = 16x の場合
  • 非対称（完備・4-相結）
  • 対称（非4-相結）（m ≧ 32）
    • m = 32x の場合
    • m = 32x+16, m ≧ 48 の場合
  • 対称・4-相結（m ≧ 32）
    • m = 32x の場合
    • m = 32x+16, m ≧ 48 の場合
• m = 2x+1, m ≧ 17 の場合
  • gcd(m, L₁₅) = 1 である場合（対称）
  • 1 ＜ gcd(m, L₁₅) ＜ m である場合（対称）
  • gcd(m, L₁₅) = m である場合（対称）

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