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各次数の立体方陣

　本ページでは，立体方陣の実例を次数別（３次～１０次）に紹介する．ここで紹介する立体方陣は全て正規である．
用語の定義についてはこちらを参照．立体方陣のクラスについてはこちらを参照．四次元方陣の実例についてはこちらを参照．
[３次] [４次] [５次] [６次] [７次] [８次] [９次] [１０次]

３次立体方陣（定和42）

　３次立体方陣はちょうど４個存在する．John R. Hendricks 氏(1929-2007) が 1972年にこのことを証明した([1])(*)．いずれの方陣も対称な単純方陣である．
(*) Hendricks 氏よりも前に，次の各氏がそれぞれ独立に，３次立体方陣の個数は４個であると主張している([2])．
石川栄助(1933), D. N. Lehmer(1934), 安部元章(1939)．

[1] John R. Hendricks, The Third-Order Magic Cube Complete, Journal of Recreational Mathematics 5:1(1972), 43-50.
[2] 平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, 151.

第１面
18	22	2
20	9	13
4	11	27

第２面
23	3	16
7	14	21
12	25	5

第３面
1	17	24
15	19	8
26	6	10

第１面
16	23	3
20	9	13
6	10	26

第２面
24	1	17
7	14	21
11	27	4

第３面
2	18	22
15	19	8
25	5	12

第１面
12	23	7
22	9	11
8	10	24

第２面
26	1	15
3	14	25
13	27	2

第３面
4	18	20
17	19	6
21	5	16

第１面
10	24	8
23	7	12
9	11	22

第２面
26	1	15
3	14	25
13	27	2

第３面
6	17	19
16	21	5
20	4	18

出典：Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_3.htm)

　３次立体方陣は，1876年に T. Hugel によって初めて作成された．彼の方陣は，上図の一番目の方陣と同等である．

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４次立体方陣（定和130）

　４次立体方陣は，「単純」・「体汎斜」の各クラスの方陣が存在する．いずれのクラスも，対称方陣が存在する．４次立体方陣の総数はまだ求められていない．Water Trump氏は 2003年に，４次の対称な立体方陣の総数がちょうど 44,447,308,800個であることを発見した．

(1) ４次「単純」立体方陣

４次「単純」立体方陣（軸対称・水平面斜） [久留島義太(くるしまよしひろ, ?-1757)]

第１面
1	62	63	4
44	23	22	41
24	43	42	21
61	2	3	64

第２面
60	7	6	57
17	46	47	20
45	18	19	48
8	59	58	5

第３面
56	11	10	53
29	34	35	32
33	30	31	36
12	55	54	9

第４面
13	50	51	16
40	27	26	37
28	39	38	25
49	14	15	52

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.154

４次「単純」立体方陣（対称） [久留島義太]

第１面
49	32	48	1
12	37	21	60
8	41	25	56
61	20	36	13

第２面
15	34	18	63
54	27	43	6
58	23	39	10
3	46	30	51

第３面
14	35	19	62
55	26	42	7
59	22	38	11
2	47	31	50

第４面
52	29	45	4
9	40	24	57
5	44	28	53
64	17	33	16

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.154

４次立体方陣は，日本の和算家，久留島義太(くるしまよしひろ) (?-1757) によって初めて作成された．これらの２つの方陣は，彼の草稿から発見されたものである．
これらの方陣が，世界初の立体方陣である．

４次「単純」立体方陣（対称・水平面斜） [阿部楽方(あべがくほう)]

第１面
8	61	1	60
11	50	14	55
62	7	59	2
49	12	56	13

第２面
45	24	44	17
34	27	39	30
23	46	18	43
28	33	29	40

第３面
25	36	32	37
22	47	19	42
35	26	38	31
48	21	41	20

第４面
52	9	53	16
63	6	58	3
10	51	15	54
5	64	4	57

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.107

本立体方陣は対称であり，かつ，各水平面は４次平面方陣である．
本方陣の４枚の面を下図のように集合させると，８次対称平面方陣が得られる．

8	61	1	60	45	24	44	17
11	50	14	55	34	27	39	30
62	7	59	2	23	46	18	43
49	12	56	13	28	33	29	40
25	36	32	37	52	9	53	16
22	47	19	42	63	6	58	3
35	26	38	31	10	51	15	54
48	21	41	20	5	64	4	57

４次「単純」立体方陣（非対称・水平面汎斜・体相結） [安部元章(あべげんしょう), 1938]

第１面
64	6	43	17
33	27	54	16
22	48	1	59
11	49	32	38

第２面
2	60	21	47
31	37	12	50
44	18	63	5
53	15	34	28

第３面
61	7	42	20
36	26	55	13
23	45	4	58
10	52	29	39

第４面
3	57	24	46
30	40	9	51
41	19	62	8
56	14	35	25

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣の各水平面は，完備かつ相結な４次汎斜平面方陣である．

４次「単純」立体方陣（対称・体相結） [中村, 2007/11]

第１面
1	48	57	24
63	18	7	42
36	13	28	53
30	51	38	11

第２面
60	21	4	45
6	43	62	19
25	56	33	16
39	10	31	50

第３面
15	34	55	26
49	32	9	40
46	3	22	59
20	61	44	5

第４面
54	27	14	35
12	37	52	29
23	58	47	2
41	8	17	64

出典：自作

全ての４次の対称かつ体相結な立体方陣は，クラス「単純」に属する．

(2) ４次「体汎斜」立体方陣

４次「体汎斜」立体方陣（非対称・完備） [A. H. Frost, 1878]

第１面
33	31	30	36
28	38	39	25
14	52	49	15
55	9	12	54

第２面
24	42	43	21
45	19	18	48
59	5	8	58
2	64	61	3

第３面
16	50	51	13
53	11	10	56
35	29	32	34
26	40	37	27

第４面
57	7	6	60
4	62	63	1
22	44	41	23
47	17	20	46

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本方陣は，世界初の４次体汎斜立体方陣であるものと思われる．

４次「体汎斜」立体方陣（非対称・完備・面相結） [境新(さかいあらた, 1908-1964), 1938]

第１面
43	21	42	24
18	48	19	45
39	25	38	28
30	36	31	33

第２面
6	60	7	57
63	1	62	4
10	56	11	53
51	13	50	16

第３面
27	37	26	40
34	32	35	29
23	41	22	44
46	20	47	17

第４面
54	12	55	9
15	49	14	52
58	8	59	5
3	61	2	64

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣は，体汎斜・完備・面相結である．
なお，全ての面相結な立体方陣は体汎斜である．

４次「体汎斜」立体方陣（非対称・非完備・面相結） [摂田寛二]

第１面
1	56	25	48
64	9	40	17
5	52	29	44
60	13	36	21

第２面
63	10	39	18
2	55	26	47
59	14	35	22
6	51	30	43

第３面
4	53	28	45
61	12	37	20
8	49	32	41
57	16	33	24

第４面
62	11	38	19
3	54	27	46
58	15	34	23
7	50	31	42

出典：摂田寛二氏のサイト (http://homepage2.nifty.com/KanjiSetsuda/)

本立体方陣は，体汎斜かつ面相結であるが，完備ではない．（面相結な立体方陣は対称にはなり得ない．）
なお，面相結な４次体汎斜立体方陣に関しては，摂田寛二氏が多くの研究を行っている．（彼は，「正方連結汎立体四方陣」と呼んでいる．）

４次「体汎斜」立体方陣（非対称・完備・水平面斜） [浦田繁松(うらたしげまつ, 1889-1958), 1941]

第１面
1	40	62	27
59	30	8	33
24	49	43	14
46	11	17	56

第２面
60	29	7	34
2	39	61	28
45	12	18	55
23	50	44	13

第３面
22	51	41	16
48	9	19	54
3	38	64	25
57	32	6	35

第４面
47	10	20	5
21	52	42	15
58	31	5	36
4	37	63	26

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, p.157

本立体方陣は体汎斜かつ完備であり，かつ，各水平面は４次平面方陣である．
なお，４次の体汎斜立体方陣は，その全ての水平面が４次平面方陣であるならば，面相結や体相結にはなり得ない．

４次「体汎斜」立体方陣（非対称・非完備・桂馬跳び） [Guenter Stertenbrink, 2003/11]

第１面
20	41	14	55
39	30	57	4
10	51	24	45
61	8	35	26

第２面
15	54	17	44
60	1	38	31
21	48	11	50
34	27	64	5

第３面
42	19	56	13
29	40	3	58
52	9	46	23
7	62	25	36

第４面
53	16	43	18
2	59	32	37
47	22	49	12
28	33	6	63

出典：Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_unusual.htm)

この立体方陣は体汎斜であり，しかも，１～６４までの数を桂馬跳びによって辿ることができる．

４次「体汎斜」立体方陣（面対称・面相結） [中村, 2004/05]

第１面
1	32	33	64
56	41	24	9
13	20	45	52
60	37	28	5

第２面
62	35	30	3
11	22	43	54
50	47	18	15
7	26	39	58

第３面
4	29	36	61
53	44	21	12
16	17	48	49
57	40	25	8

第４面
63	34	31	2
10	23	42	55
51	46	19	14
6	27	38	59

第１面
1	32	33	64
56	41	24	9
13	20	45	52
60	37	28	5

第２面
62	35	30	3
11	22	43	54
50	47	18	15
7	26	39	58

第３面
19	14	51	46
38	59	6	27
31	2	63	34
42	55	10	23

第４面
48	49	16	17
25	8	57	40
36	61	4	29
21	12	53	44

出典：自作

これらの方陣はいずれも体汎斜・面対称・面相結である．
これらの体汎斜立体方陣は，第１面と第２面が共通であるにもかかわらず，本質的に異なるものである．
『方陣の研究』（著：平山諦・阿部楽方, 大阪教育図書）p.160 には，「完全(注：体汎斜の意)立体四方陣の第１面と第２面の数で，第３面の数は全部決定することができる。」と記されているが，この記述は誤りである．

４次「体汎斜」立体方陣（対称） [中村, 2004/05]

第１面
1	55	14	60
40	29	43	18
30	44	17	39
59	2	56	13

第２面
31	38	20	41
53	3	58	16
4	57	15	54
42	32	37	19

第３面
46	28	33	23
11	50	8	61
49	7	62	12
24	45	27	34

第４面
52	9	63	6
26	48	21	35
47	22	36	25
5	51	10	64

出典：自作．こちらにCSV形式のファイルがある．

この方陣は体汎斜かつ対称な４次立体方陣である．このような方陣は，かつて，存在しないものと信じられていた．Water Trump氏によれば，体汎斜かつ対称な４次立体方陣はちょうど 37,824個存在する．なお，４次の対称な体汎斜立体方陣は，面相結や体相結にはなり得ない．
対称な４次体汎斜立体方陣に関しては，摂田寛二氏による研究がある．

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５次立体方陣（定和315）

　５次立体方陣は，「単純」・「体汎斜」・「面斜」の各クラスの方陣が存在する．対称な５次の単純方陣・体汎斜方陣は存在するが，対称な５次面斜方陣が存在するか否かは知られていない．

５次「単純」立体方陣（対称） [Hermann Schubert, 1898]

第１面
121	27	83	14	70
10	61	117	48	79
44	100	1	57	113
53	109	40	91	22
87	18	74	105	31

第２面
2	58	114	45	96
36	92	23	54	110
75	101	32	88	19
84	15	66	122	28
118	49	80	6	62

第３面
33	89	20	71	102
67	123	29	85	11
76	7	63	119	50
115	41	97	3	59
24	55	106	37	93

第４面
64	120	46	77	8
98	4	60	111	42
107	38	94	25	51
16	72	103	34	90
30	81	12	68	124

第５面
95	21	52	108	39
104	35	86	17	73
13	69	125	26	82
47	78	9	65	116
56	112	43	99	5

出典：Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_early.htm)

５次「単純」立体方陣（対称・水平面汎斜） [Theodor Hugel, 1876]

第１面
93	121	62	4	35
52	9	45	98	111
50	88	101	57	19
106	67	24	40	78
14	30	83	116	72

第２面
12	29	85	118	71
95	123	61	2	34
51	7	44	100	113
49	90	103	56	17
108	66	22	39	80

第３面
110	68	21	37	79
11	27	84	120	73
94	125	63	1	32
53	6	42	99	115
47	89	105	58	16

第４面
46	87	104	60	18
109	70	23	36	77
13	26	82	119	75
92	124	65	3	31
55	8	41	97	114

第５面
54	10	43	96	112
48	86	102	59	20
107	69	25	38	76
15	28	81	117	74
91	122	64	5	33

出典：Harvey D. Heinz 氏のサイト (http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_5.htm)

本立体方陣は対称であり，かつ，各水平面は５次汎斜平面方陣である．
本方陣は，世界初の５次立体方陣であるものと思われる．

５次「単純」立体方陣（非対称・表面斜・連続同心方陣） [Walter Trump, 2003/06]

Plane No.1
33	22	113	42	105
2	89	106	19	99
85	82	4	119	25
98	90	6	112	9
97	32	86	23	77

Plane No.2
95	80	111	11	18
91	55	65	69	35
16	66	70	53	110
5	68	54	67	121
108	46	15	115	31

Plane No.3
100	17	48	34	116
114	75	52	62	12
83	50	63	76	43
8	64	74	51	118
10	109	78	92	26

Plane No.4
38	102	3	125	47
81	59	72	58	45
30	73	56	60	96
87	57	61	71	39
79	24	123	1	88

Plane No.5
49	94	40	103	29
27	37	20	107	124
101	44	122	7	41
117	36	120	14	28
21	104	13	84	93

出典：Walter Trump 氏のサイト (http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html)

本方陣は表面斜方陣である．また，本方陣には 50～76 の連続数からなる３次立体方陣が含まれている．従って，本方陣は連続同心方陣でもある．
Trump 氏によると，５次の連続同心面斜方陣は存在しない．

５次「体汎斜」立体方陣（対称） [森山善雄, 1967]

第１面
21	40	54	93	107
112	1	45	59	98
78	117	6	50	64
69	83	122	11	30
35	74	88	102	16

第２面
37	51	95	109	23
3	42	56	100	114
119	8	47	61	80
85	124	13	27	66
71	90	104	18	32

第３面
53	92	106	25	39
44	58	97	111	5
10	49	63	77	116
121	15	29	68	82
87	101	20	34	73

第４面
94	108	22	36	55
60	99	113	2	41
46	65	79	118	7
12	26	70	84	123
103	17	31	75	89

第５面
110	24	38	52	91
96	115	4	43	57
62	76	120	9	48
28	67	81	125	14
19	33	72	86	105

出典：平山諦・阿部楽方, 『方陣の研究』, 大阪教育図書, 1983, pp.163-164

本方陣は，世界初の５次体汎斜立体方陣であろうか？

５次「面斜」立体方陣（非対称） [Walter Trump & Christian Boyer, 2003/11]

第１面
25	16	80	104	90
115	98	4	1	97
42	111	85	2	75
66	72	27	102	48
67	18	119	106	5

第２面
91	77	71	6	70
52	64	117	69	13
30	118	21	123	23
26	39	92	44	114
116	17	14	73	95

第３面
47	61	45	76	86
107	43	38	33	94
89	68	63	58	37
32	93	88	83	19
40	50	81	65	79

第４面
31	53	112	109	10
12	82	34	87	100
103	3	105	8	96
113	57	9	62	74
56	120	55	49	35

第５面
121	108	7	20	59
29	28	122	125	11
51	15	41	124	84
78	54	99	24	60
36	110	46	22	101

出典：Walter Trump 氏のサイト (http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html)

Walter Trump, Christian Boyer 両氏によるこの方陣は，世界初の５次面斜立体方陣である．このような方陣は，かつて，存在しないものと信じられていた．彼らはコンピュータを用いてこの方陣を発見した．彼らは他にも５次面斜立体方陣を発見している．これらの方陣は，Aale de Winkel 氏のサイト（英文）に掲載されている．

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本ページの最終更新日：2008年8月10日
「立体方陣と高次元方陣－三次元以上の魔方陣」 http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/jp/
Copyright © 2004-2008, Mitsutoshi Nakamura. All rights reserved.

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