８次全汎斜立体方陣の完備性定理 (1/3)

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８次全汎斜立体方陣の完備性定理 (1/3)

　本定理の証明には，次の８次汎斜平面方陣に関する補題を要する．

補題１
　(a_ij) を８次汎斜平面方陣(正規または非正規)とする．ただし，i, j は 0～7 の値をとる変数とする．
このとき，８つのセル a₀₀, a₀₄, a₂₂, a₂₆, a₄₀, a₄₄, a₆₂, a₆₆ の和は定和に等しくなる．
8つのセル a₀₁, a₀₅, a₂₃, a₂₇, a₄₁, a₄₅, a₆₃, a₆₇ についても同様である．

a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

証明
　１番目の性質のみを証明すれば十分である．なぜならば，方陣の第１列を最終列に移動した方陣（これも汎斜平面方陣である）を考えることにより，２番目の性質は１番目の性質に帰着されるからである．
s を定和とする．すると，行・列の条件から，以下の式が導ける．
(a₀₀ + a₀₁ + a₀₂ + a₀₃ + a₀₄ + a₀₅ + a₀₆ + a₀₇) +
(a₂₀ + a₂₁ + a₂₂ + a₂₃ + a₂₄ + a₂₅ + a₂₆ + a₂₇) +
(a₄₀ + a₄₁ + a₄₂ + a₄₃ + a₄₄ + a₄₅ + a₄₆ + a₄₇) +
(a₆₀ + a₆₁ + a₆₂ + a₆₃ + a₆₄ + a₆₅ + a₆₆ + a₆₇) = 4s,    (1.1)

(a₀₁ + a₁₁ + a₂₁ + a₃₁ + a₄₁ + a₅₁ + a₆₁ + a₇₁) +
(a₀₃ + a₁₃ + a₂₃ + a₃₃ + a₄₃ + a₅₃ + a₆₃ + a₇₃) +
(a₀₅ + a₁₅ + a₂₅ + a₃₅ + a₄₅ + a₅₅ + a₆₅ + a₇₅) +
(a₀₇ + a₁₇ + a₂₇ + a₃₇ + a₄₇ + a₅₇ + a₆₇ + a₇₇) = 4s.    (1.2)

同様に，(汎)対角線の条件から，以下の式が導ける．
(a₀₀ + a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄ + a₅₅ + a₆₆ + a₇₇) +
(a₂₀ + a₃₁ + a₄₂ + a₅₃ + a₆₄ + a₇₅ + a₀₆ + a₁₇) +
(a₄₀ + a₅₁ + a₆₂ + a₇₃ + a₀₄ + a₁₅ + a₂₆ + a₃₇) +
(a₆₀ + a₇₁ + a₀₂ + a₁₃ + a₂₄ + a₃₅ + a₄₆ + a₅₇) = 4s.    (1.3)

(1.1)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

(1.2)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

(1.3)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

これらの式に対して ((1.1)-(1.2)+(1.3))/2 の計算を行うことにより，以下の式が導かれる．
(a₀₀ + a₀₂ + a₀₄ + a₀₆) + (a₂₀ + a₂₂ + a₂₄ + a₂₆) +
(a₄₀ + a₄₂ + a₄₄ + a₄₆) + (a₆₀ + a₆₂ + a₆₄ + a₆₆) = 2s. (1.4)

(1.4)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

一方，(汎)対角線の条件から，以下の式が導ける．
(a₀₀ + a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄ + a₅₅ + a₆₆ + a₇₇) +
(a₄₀ + a₅₁ + a₆₂ + a₇₃ + a₀₄ + a₁₅ + a₂₆ + a₃₇) = 2s, (1.5)

(a₀₂ + a₁₁ + a₂₀ + a₃₇ + a₄₆ + a₅₅ + a₆₄ + a₇₃) +
(a₀₆ + a₁₅ + a₂₄ + a₃₃ + a₄₂ + a₅₁ + a₆₀ + a₇₇) = 2s. (1.6)

(1.5)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

(1.6)
a₀₀	a₀₁	a₀₂	a₀₃	a₀₄	a₀₅	a₀₆	a₀₇
a₁₀	a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	a₁₅	a₁₆	a₁₇
a₂₀	a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	a₂₅	a₂₆	a₂₇
a₃₀	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	a₃₅	a₃₆	a₃₇
a₄₀	a₄₁	a₄₂	a₄₃	a₄₄	a₄₅	a₄₆	a₄₇
a₅₀	a₅₁	a₅₂	a₅₃	a₅₄	a₅₅	a₅₆	a₅₇
a₆₀	a₆₁	a₆₂	a₆₃	a₆₄	a₆₅	a₆₆	a₆₇
a₇₀	a₇₁	a₇₂	a₇₃	a₇₄	a₇₅	a₇₆	a₇₇

これらの式に対して ((1.4)+(1.5)-(1.6)) / 2 の計算を行うことにより，以下の式が導かれる．
a₀₀ + a₀₄ + a₂₂ + a₂₆ + a₄₀ + a₄₄ + a₆₂ + a₆₆ = s. 証明終

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本ページの最終更新日：2007年4月29日
「立体方陣と高次元方陣－三次元以上の魔方陣」 http://homepage2.nifty.com/googol/magcube/jp/
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