長方陣

　二次元の(m₁, m₂)-長方陣 (magic rectangle) とは，数を m₁×m₂ の長方形状に並べ，横方向(行, row)・縦方向(列, column) の和がそれぞれ一定の数（行定和・列定和）となるようにしたものである．対角線和は考えない．(m₁, m₂)-長方陣は，使われる数が１から m₁m₂ までの連続整数であるとき「正規」(normal)であるといい，そうでないとき「非正規」(non-normal)であるという．以下では，正規な長方陣のみを扱う．三次元以上の長方陣も同様に定義される．

**(3,5)-対称長方陣**
14	10	4	5	7
1	3	8	13	15
9	11	12	6	2

**(3,7)-対称長方陣**
10	21	9	16	5	14	2
3	4	7	11	15	18	19
20	8	17	6	13	1	12

**(5,7)-対称長方陣**
26	19	8	31	25	13	4
20	6	34	24	14	1	27
3	7	15	18	21	29	33
9	35	22	12	2	30	16
32	23	11	5	28	17	10

　(奇数,奇数)-次の長方陣は，立体方陣や四次元方陣を作成する際に利用される（全汎斜立体方陣の作成法や全汎斜四次元方陣の作成法のページを参照）．しかしながら，(奇数,奇数)-次の長方陣の一般的作成は容易ではない（後述）．一方，(偶数,偶数)-次の長方陣の作成はさほど困難ではない（下図参照）．なお，(奇数,偶数)-次の正規な長方陣は存在しない．

**(4,6)-長方陣（非対称）**
1	2	3	22	23	24
19	20	21	4	5	6
18	17	16	9	8	7
12	11	10	15	14	13

長方陣の存在

　m₁, m₂ ＞ 1 に対して，正規な (m₁, m₂)-二次元長方陣は次のいずれかの場合に限って存在する．
(1) m₁, m₂ がともに偶数で，かつ，少なくとも一方が４以上．
(2) m₁, m₂ がともに奇数．
　T. Harmuth 氏が 1881 年にこの定理の証明を発表した．Thomas R. Hagedorn 氏は，この定理の初等的な証明を具体的構成法とともに [2] に発表した（初等的とはいえ，かなり複雑である）．彼は更に，[1] 上で次の長方陣の存在を証明した．

(1) (m₁, m₂, ..., m_n)-n 次元長方陣，ここで m₁, .., m_n ＞ 1 は偶数で，２を２個以上含むことはない．
(2) (m₁, m₂, m₃)-三次元長方陣，ここで m₁, m₂, m₃ ＞ 1 は奇数で， gcd(m₁, m₂) ＞ 1 (gcd は最大公約数を表す)．

さらに，Hagedorn 氏の証明を一般化することによって，次の長方陣の存在も証明することができる．
(2)' (m₁, m₂, ..., m_n)-n 次元長方陣，ここで m₁, .., m_n ＞ 1 は奇数で，ある異なる i, j に対して gcd(m_i, m_j) ＞ 1 ．

　これらの結果より，(3,3,5), (3,3,7), (3,5,5), (3,5,9), (3,5,15), (3,7,15) などの三次元長方陣は存在する． Hagedorn 氏は[1] で， (3,5,7)-三次元長方陣が存在するか否かは未解決であるとしていた．私は，2004年４月に (3,5,7)-三次元長方陣を，また，2005年２月に (3,5,11)-三次元長方陣および (3,5,13)-三次元長方陣を発見した．いずれもパソコン(1.46GHz)による探索で発見したものである． (m₁, m₂, m₃)-三次元長方陣が，全ての奇数 m₁, m₂, m₃ ＞ 1 に対して存在するか否かは未解決である．

三次元長方陣の例

**第１面**
31	3	38	13	30
24	41	12	36	2
14	25	19	20	37

**第２面**
29	40	4	35	7
1	18	23	28	45
39	11	42	6	17

**第３面**
9	26	27	21	32
44	10	34	5	22
16	33	8	43	15

**第１面**
33	4	37	11	30	33	34
35	23	32	36	13	31	12
10	51	9	31	35	14	32

**第２面**
25	36	24	46	5	44	2
3	34	7	26	45	18	49
50	8	47	6	28	16	27

**第３面**
20	38	17	21	43	1	42
40	21	39	16	20	29	17
18	19	22	41	15	48	19

**第１面**
70	54	35	99	22	87	4
63	29	93	45	92	24	25
89	94	38	9	18	67	56
41	31	40	34	48	76	101
2	57	59	78	85	11	79

**第２面**
62	10	103	32	90	23	51
91	100	8	42	1	60	69
20	26	33	53	73	80	86
37	46	105	64	98	6	15
55	83	16	74	3	96	44

**第３面**
27	95	21	28	47	49	104
5	30	58	72	66	75	65
50	39	88	97	68	12	17
81	82	14	61	13	77	43
102	19	84	7	71	52	36

**第１面**
51	28	120	79	145	44	124	75	5	109	133
101	152	20	50	13	130	96	110	128	106	7
119	62	67	17	151	24	126	90	78	31	148
49	141	131	164	22	158	3	1	64	150	30
95	32	77	105	84	59	66	139	140	19	97

**第２面**
129	74	103	143	4	98	43	113	155	6	45
12	81	127	34	73	111	9	137	86	118	125
112	52	94	156	58	83	108	10	72	114	54
41	48	80	29	157	55	93	132	39	85	154
121	160	11	53	123	68	162	23	63	92	37

**第３面**
69	147	26	27	100	107	82	61	89	134	71
136	16	102	165	163	8	144	2	35	25	117
18	135	88	76	40	142	15	149	99	104	47
159	60	38	56	70	36	153	116	146	14	65
33	57	161	91	42	122	21	87	46	138	115

**第１面**
37	106	131	13	116	121	58	74	171	182	187	26	52
84	69	55	180	173	93	175	70	18	31	85	91	150
193	134	36	44	43	101	89	167	54	78	15	192	128
166	79	155	124	12	38	148	2	190	99	8	120	133
10	102	113	129	146	137	20	177	57	100	195	61	27

**第２面**
88	53	162	185	39	154	60	161	73	45	24	174	56
147	149	51	17	115	7	71	66	92	191	168	86	114
33	156	77	132	109	164	98	32	87	64	119	40	163
82	110	28	5	104	130	125	189	81	179	145	47	49
140	22	172	151	123	35	136	42	157	11	34	143	108

**第３面**
169	135	1	96	139	19	176	59	50	67	83	94	186
63	76	188	97	6	194	48	158	184	72	41	117	30
68	4	181	118	142	29	107	95	153	152	160	62	3
46	105	111	165	178	126	21	103	23	16	141	127	112
144	170	9	14	25	122	138	75	80	183	65	90	159

26	19	8	31	25	13	4
20	6	34	24	14	1	27
3	7	15	18	21	29	33
9	35	22	12	2	30	16
32	23	11	5	28	17	10

70	54	35	99	22	87	4
63	29	93	45	92	24	25
89	94	38	9	18	67	56
41	31	40	34	48	76	101
2	57	59	78	85	11	79

62	10	103	32	90	23	51
91	100	8	42	1	60	69
20	26	33	53	73	80	86
37	46	105	64	98	6	15
55	83	16	74	3	96	44

27	95	21	28	47	49	104
5	30	58	72	66	75	65
50	39	88	97	68	12	17
81	82	14	61	13	77	43
102	19	84	7	71	52	36

51	28	120	79	145	44	124	75	5	109	133
101	152	20	50	13	130	96	110	128	106	7
119	62	67	17	151	24	126	90	78	31	148
49	141	131	164	22	158	3	1	64	150	30
95	32	77	105	84	59	66	139	140	19	97

129	74	103	143	4	98	43	113	155	6	45
12	81	127	34	73	111	9	137	86	118	125
112	52	94	156	58	83	108	10	72	114	54
41	48	80	29	157	55	93	132	39	85	154
121	160	11	53	123	68	162	23	63	92	37

69	147	26	27	100	107	82	61	89	134	71
136	16	102	165	163	8	144	2	35	25	117
18	135	88	76	40	142	15	149	99	104	47
159	60	38	56	70	36	153	116	146	14	65
33	57	161	91	42	122	21	87	46	138	115

37	106	131	13	116	121	58	74	171	182	187	26	52
84	69	55	180	173	93	175	70	18	31	85	91	150
193	134	36	44	43	101	89	167	54	78	15	192	128
166	79	155	124	12	38	148	2	190	99	8	120	133
10	102	113	129	146	137	20	177	57	100	195	61	27

88	53	162	185	39	154	60	161	73	45	24	174	56
147	149	51	17	115	7	71	66	92	191	168	86	114
33	156	77	132	109	164	98	32	87	64	119	40	163
82	110	28	5	104	130	125	189	81	179	145	47	49
140	22	172	151	123	35	136	42	157	11	34	143	108

169	135	1	96	139	19	176	59	50	67	83	94	186
63	76	188	97	6	194	48	158	184	72	41	117	30
68	4	181	118	142	29	107	95	153	152	160	62	3
46	105	111	165	178	126	21	103	23	16	141	127	112
144	170	9	14	25	122	138	75	80	183	65	90	159

26	19	8	31	25	13	4
20	6	34	24	14	1	27
3	7	15	18	21	29	33
9	35	22	12	2	30	16
32	23	11	5	28	17	10

70	54	35	99	22	87	4
63	29	93	45	92	24	25
89	94	38	9	18	67	56
41	31	40	34	48	76	101
2	57	59	78	85	11	79

62	10	103	32	90	23	51
91	100	8	42	1	60	69
20	26	33	53	73	80	86
37	46	105	64	98	6	15
55	83	16	74	3	96	44

27	95	21	28	47	49	104
5	30	58	72	66	75	65
50	39	88	97	68	12	17
81	82	14	61	13	77	43
102	19	84	7	71	52	36

51	28	120	79	145	44	124	75	5	109	133
101	152	20	50	13	130	96	110	128	106	7
119	62	67	17	151	24	126	90	78	31	148
49	141	131	164	22	158	3	1	64	150	30
95	32	77	105	84	59	66	139	140	19	97

129	74	103	143	4	98	43	113	155	6	45
12	81	127	34	73	111	9	137	86	118	125
112	52	94	156	58	83	108	10	72	114	54
41	48	80	29	157	55	93	132	39	85	154
121	160	11	53	123	68	162	23	63	92	37

69	147	26	27	100	107	82	61	89	134	71
136	16	102	165	163	8	144	2	35	25	117
18	135	88	76	40	142	15	149	99	104	47
159	60	38	56	70	36	153	116	146	14	65
33	57	161	91	42	122	21	87	46	138	115

37	106	131	13	116	121	58	74	171	182	187	26	52
84	69	55	180	173	93	175	70	18	31	85	91	150
193	134	36	44	43	101	89	167	54	78	15	192	128
166	79	155	124	12	38	148	2	190	99	8	120	133
10	102	113	129	146	137	20	177	57	100	195	61	27

88	53	162	185	39	154	60	161	73	45	24	174	56
147	149	51	17	115	7	71	66	92	191	168	86	114
33	156	77	132	109	164	98	32	87	64	119	40	163
82	110	28	5	104	130	125	189	81	179	145	47	49
140	22	172	151	123	35	136	42	157	11	34	143	108

169	135	1	96	139	19	176	59	50	67	83	94	186
63	76	188	97	6	194	48	158	184	72	41	117	30
68	4	181	118	142	29	107	95	153	152	160	62	3
46	105	111	165	178	126	21	103	23	16	141	127	112
144	170	9	14	25	122	138	75	80	183	65	90	159

長方陣

長方陣とは？

長方陣の存在

三次元長方陣の例

26	19	8	31	25	13	4
20	6	34	24	14	1	27
3	7	15	18	21	29	33
9	35	22	12	2	30	16
32	23	11	5	28	17	10

70	54	35	99	22	87	4
63	29	93	45	92	24	25
89	94	38	9	18	67	56
41	31	40	34	48	76	101
2	57	59	78	85	11	79

62	10	103	32	90	23	51
91	100	8	42	1	60	69
20	26	33	53	73	80	86
37	46	105	64	98	6	15
55	83	16	74	3	96	44

27	95	21	28	47	49	104
5	30	58	72	66	75	65
50	39	88	97	68	12	17
81	82	14	61	13	77	43
102	19	84	7	71	52	36

51	28	120	79	145	44	124	75	5	109	133
101	152	20	50	13	130	96	110	128	106	7
119	62	67	17	151	24	126	90	78	31	148
49	141	131	164	22	158	3	1	64	150	30
95	32	77	105	84	59	66	139	140	19	97

129	74	103	143	4	98	43	113	155	6	45
12	81	127	34	73	111	9	137	86	118	125
112	52	94	156	58	83	108	10	72	114	54
41	48	80	29	157	55	93	132	39	85	154
121	160	11	53	123	68	162	23	63	92	37

69	147	26	27	100	107	82	61	89	134	71
136	16	102	165	163	8	144	2	35	25	117
18	135	88	76	40	142	15	149	99	104	47
159	60	38	56	70	36	153	116	146	14	65
33	57	161	91	42	122	21	87	46	138	115

37	106	131	13	116	121	58	74	171	182	187	26	52
84	69	55	180	173	93	175	70	18	31	85	91	150
193	134	36	44	43	101	89	167	54	78	15	192	128
166	79	155	124	12	38	148	2	190	99	8	120	133
10	102	113	129	146	137	20	177	57	100	195	61	27

88	53	162	185	39	154	60	161	73	45	24	174	56
147	149	51	17	115	7	71	66	92	191	168	86	114
33	156	77	132	109	164	98	32	87	64	119	40	163
82	110	28	5	104	130	125	189	81	179	145	47	49
140	22	172	151	123	35	136	42	157	11	34	143	108

169	135	1	96	139	19	176	59	50	67	83	94	186
63	76	188	97	6	194	48	158	184	72	41	117	30
68	4	181	118	142	29	107	95	153	152	160	62	3
46	105	111	165	178	126	21	103	23	16	141	127	112
144	170	9	14	25	122	138	75	80	183	65	90	159