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１．対称なｎ次元汎斜方陣
(1) 次数 m = 4
私は 2004 年８月に，４次の対称な n 次元汎斜方陣が，全ての奇数次元 n ≧ 3 に対して存在することを証明した．
（５次元・７次元の例は上に示した．３次元の例はこちらを参照．）
一方，偶数次元においては，全ての４次の n次元汎斜方陣は完備（定和対蹠点型）である．従って，偶数次元においては，4 次の（正規な）n 次元汎斜方陣は対称になり得ない．特に，４次の対称な平面汎斜方陣や四次元汎斜方陣は存在しない．
(2) 次数 m = 4x, m ≧ 8
私は 2004 年８月に，m 次の対称な n 次元汎斜方陣が，全ての次元 n ≧ 2 と 全ての８以上の４の倍数次 m ≧ 8 に対して存在することを証明した．
（８次の場合について，４次元・５次元・６次元の例は上に示した．３次元の例はこちらを参照．）
なお，次元 n が偶数ならば，m 次の対称かつ面相結な n 次元汎斜方陣が，全ての８以上の４の倍数次 m ≧ 8 に対して存在する．
（８次の場合について，４次元・６次元の例は上に示した．奇数次元の方陣は，同時に対称かつ面相結になることはない．）
(3) 次数 m = 4x+2, m ≧ 6
私は 2008 年５月に，m 次の対称な n 次元汎斜方陣が，全ての奇数次元 n ≧ 3 と 全ての半偶数次 m ≧ 6 に対して存在することを証明した．
（６次の場合について，５次元・７次元の例は上に示した．３次元の例はこちらを参照．）
一方，偶数次元においては，半偶数次の対称方陣・汎斜方陣いずれも存在しない．
２．ｎ次元全斜方陣
私は 2004 年12月に，次の場合に m 次の全斜 n 次元方陣が存在することを証明した：
2e > n+1 なる最小の整数 e に対して，次数 m が 2e の倍数である場合．
例えば，８次の全斜方陣は，６次元以下のときには常に存在する．また，16 次の全斜方陣は，14 次元以下のときには常に存在する．
（８次の場合について，４次元・５次元・６次元の例は上に示した．３次元の例はこちらを参照．）
なお，私は 2008 年５月に，７次元の８次全斜方陣が存在しないことを証明した．
３．４次のｎ次元2-斜方陣
私は 2008 年５月に，４次の n 次元2-斜(面斜)方陣の存在に関して次の定理を証明した：
もし n ≡ 3 (mod. 4) ならば，４次の n 次元2-斜方陣は存在しない．それ以外の次元 n ≧ 2 に対しては存在する．
例えば，２・４・５・６・８次元では４次2-斜方陣が存在し，３・７・11次元では存在しない．（４次元・５次元・６次元の例は上に示した．３次元で存在しないことはよく知られている．）
一方，４次の n 次元3-斜(体斜)方陣は，全ての次元 n ≧ 3 に対して存在する．
４．ｎ次元桂馬跳び方陣
私は 2009 年５月に，m 次の n 次元桂馬跳び方陣が，全ての奇数次元 n ≧ 3 と 全ての４の倍数次 m ≧ 4 に対して存在することを証明した．
(５次元４次・５次元８次・７次元４次の例は上に示した．３次元４次の例はこちらを参照．）
一方，偶数次元 n ≧ 4 に対しては，n 次元桂馬跳び方陣の存在は未だ知られていない．Awani Kumar 氏は，2008年９月に４次元４次の桂馬跳び準方陣（４次元対角線不成立）を作成した．彼は，２次元12次・３次元８次・３次元12次・３次元16次の桂馬跳び方陣，５次元４次の桂馬跳び準方陣（５次元対角線不成立），３次元および４次元立方体表面上の２次元８次桂馬跳び準方陣（２次元対角線不成立），など多数の桂馬跳び（準）方陣を作成している．
桂馬跳び方陣に関しては，以下のサイトを参照されたい．
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