楕円曲線の Kodaira type

離散付値環 R の商体 K 上定義された楕円曲線 E/K に対する極小固有正則モデル, 及び Ne'ron モデルの special fiber の分類を行う.
この分類には次の様なものがある(少し傾いているのはご愛嬌).

これを求める Tate のアルゴリズムを実装した. (cf.[Ta])

アルゴリズム(pdf) (dvi)

Tate のアルゴリズムを実装した pari/gp スクリプト

[Ta] J.Tate, Alogorithm for determining the singular fiber in an elliptic pencil , Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Mathematics 476, Springer-Verlag, 1975.

種数 > 1 の場合 (2003.8.8 追加)
種数 = 2 の Kodaira Type は、Namikawa と Uero [NU] で与えられている。

Tate のアルゴリズムは、 基本的に Weierstrass 方程式からブローアップを繰り返して極小固有正則モデルと一致させるだけだから、
種数 > 1 の曲線の内、同じく定義方程式がある超楕円曲線でも Tate のアルゴリズムに相当するものが作れるのではないかと考えられる。
調べると、判別式や座標変換に当たるものは Lockhart [Lo] にあった。
これを使えば、種数= 2 の Tate の Alogrithm が作れるのではないかと考えていたのだが、
Q.Liu [Liu] によって既にやられてしまっていた。 (しかも更に一般論をやっている)
僕の怪しいフランス語に依ると、H.Cohen の助けを借りて PARI にも実装できているらしい。

種数 > 2 の場合は Kodaira Type が定まっていない (多分) から、アルゴリズムを作れない。
しかし 種数 = 2 の時点で 120 通りあったのだから、これはちょっときつそう。

[NU] Y.Namkikawa - K.Uero, The complete classification of fibers in pencils of curves of genus two, manuscripta math. 9, 143-186 (1973)
[Lo] P.Lockhart, On the discriminant of a hyperelliptic curve , Trans. Amer. Mth. Soc. 342(1994), no.2, 729-752
[Liu] Q.Liu, Mode'les entiers des courves hyperelliptiques sur un corps de valuation discre'te, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), no.11, 4577-4610

項目一覧