Definition
正則でない素数、つまり素数pがある類数(イデヤル類群の元の個数)を割り切る

• 素数pが正則であるためには、Bernoulli数B_k(1≦k≦p-2)のすべての分子がpで割り切れないことが必要十分(Kummer 1850)
  例えば、p=37は、B₃₂の分子で割り切れる(-7709321041217÷37=-208360028141)よって37は非正則素数
• pが素数で、kが1≦k≦p-2なる数で(実際にはkが奇数の時、B_k=0なので、2≦k≦p-3)
  pがB_kの分子を割り切るならば、(p,k)の組を非正則対(irregular pair)と言い
  ある素数pに対して(p,k)の数をpの非正則指数と言う。
  例えば、157は、(157,62)と(157,110)なる二つのirregular pairを持つので指数2
• 非正則素数の指数kはλ=1/2のポアソン分布λ^ke^-λ/k!に従う
• 非正則素数は無限に存在する(Jensen 1915)

参考文献
[1]Buhler, J.P.; Crandall, R.E.; and Sompolski, R. W. "Irregular Primes to One Million." Math. Comput. 59, 717-722, 1992
[2]Wells Johnson "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" Math. Comput. 29, 113-120, 1975
[3]Samuel S.Wagstaff,Jr. "The Irregular Primes to 125000" Math. Comput. 32, 583-591, 1978

10000以下の非正則素数(497個)

37	59	67	101	103	131	149	157	233	257	263	271	283	293	307	311	347	353	379	389	401	409	421	433	461
463	467	491	523	541	547	557	577	587	593	607	613	617	619	631	647	653	659	673	677	683	691	727	751	757
761	773	797	809	811	821	827	839	877	881	887	929	953	971	1061	1091	1117	1129	1151	1153	1193	1201	1217	1229	1237
1279	1283	1291	1297	1301	1307	1319	1327	1367	1381	1409	1429	1439	1483	1499	1523	1559	1597	1609	1613	1619	1621	1637	1663	1669
1721	1733	1753	1759	1777	1787	1789	1811	1831	1847	1871	1877	1879	1889	1901	1933	1951	1979	1987	1993	1997	2003	2017	2039	2053
2087	2099	2111	2137	2143	2153	2213	2239	2267	2273	2293	2309	2357	2371	2377	2381	2383	2389	2411	2423	2441	2503	2543	2557	2579
2591	2621	2633	2647	2657	2663	2671	2689	2753	2767	2777	2789	2791	2833	2857	2861	2909	2927	2939	2957	2999	3011	3023	3049	3061
3083	3089	3119	3181	3203	3221	3229	3257	3313	3323	3329	3391	3407	3433	3469	3491	3511	3517	3529	3533	3539	3559	3581	3583	3593
3607	3613	3617	3631	3637	3671	3677	3697	3779	3797	3821	3833	3851	3853	3881	3917	3967	3989	4001	4003	4021	4027	4049	4051	4073
4129	4157	4219	4243	4259	4261	4339	4349	4409	4421	4451	4457	4493	4519	4523	4561	4591	4637	4639	4657	4663	4679	4691	4751	4783
4793	4813	4861	4889	4903	4909	4943	4951	4957	4969	4973	5009	5039	5077	5081	5099	5101	5107	5119	5167	5179	5189	5209	5227	5231
5297	5303	5309	5351	5399	5413	5441	5443	5477	5479	5501	5527	5531	5557	5569	5573	5639	5641	5669	5689	5701	5783	5791	5813	5821
5839	5861	5897	5903	5923	5927	5939	5953	6007	6011	6037	6043	6091	6101	6173	6217	6247	6257	6263	6287	6317	6329	6337	6343	6367
6373	6379	6421	6449	6451	6491	6521	6529	6547	6569	6571	6577	6619	6659	6689	6701	6733	6763	6779	6793	6823	6827	6833	6857	6863
6949	6971	6997	7001	7039	7057	7069	7109	7121	7127	7177	7187	7207	7211	7213	7229	7309	7321	7351	7411	7459	7487	7489	7499	7507
7537	7547	7559	7591	7607	7643	7681	7687	7691	7727	7817	7823	7829	7853	7901	7907	7919	7927	7937	7949	7951	7963	8011	8039	8059
8069	8087	8089	8101	8123	8161	8179	8191	8209	8219	8221	8231	8293	8317	8369	8419	8429	8443	8447	8467	8527	8537	8573	8597	8599
8609	8623	8627	8629	8641	8647	8663	8669	8677	8689	8719	8731	8747	8753	8779	8821	8831	8837	8839	8849	8893	8923	8929	8933	8951
8999	9011	9013	9041	9043	9059	9103	9133	9137	9199	9221	9277	9311	9323	9337	9349	9377	9413	9431	9433	9463	9467	9473	9511	9533
9539	9613	9631	9677	9689	9733	9739	9743	9767	9791	9803	9811	9829	9833	9839	9859	9871	9883	9901	9907	9923	9949

戻る