素数大好き

保型形式セミナー

参考文献
[G] Goro Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functins, Princeton University Press (1994)
[G73] Goro Shimura, On modular forms of half integral weight., Ann. of Math. (2) 97 (1973), 440--481.
[M] J. S. Milne, Modular Functions and Modular Forms,
[S] 清水英男,『岩波講座基礎数学保型関数II』,岩波書店.

2005年

2/23 山崎 [G] §6.4 GL₂ のアデール化

2004年

11/26 平之内 [G] §6.2 N 分体上有理的なモジュラー関数
Weierstrass のペー関数の Fourier 展開を計算して
有理 Fourier 係数のレベル N モジュラー関数体を求めた。
11/12 平之内 [G] §6.2 N 分体上有理的なモジュラー関数
10/22 山崎 [G73] 以後の半整数ウエイトの保型形式について
[G73] ではっきり定まっていなかった志村対応のレベルや、
Kohnen new form について知られている事を解説した。
10/15 平之内体の指標と分岐群の指標について
10/8 山崎 [G73] 主定理の証明を完了
9/24 平之内 [G] §6.1 楕円曲線の等分点から得られるレベル N のモジュラー関数
9/17 山崎 [G73] §3 主定理
半整数ウエイトの保型形式から構成した Dirichlet 級数の関数等式を示した。
9/10 山崎 [G73] §3 主定理
半整数ウエイトの保型形式から構成した Dirichlet 級数の解析接続と帯状領域での有界性。
9/3 平之内 §6.1 楕円曲線の等分点から得られるレベル N のモジュラー関数
レベル N のモジュラー関数の成す体の生成元を探す。
8/30 山崎 [G73] §3 主定理
パラメータ t= 1 の場合の証明。 Weil-Hecke の逆定理を用いる為に、半整数ウエイトの保型形式から構成した Dirichlet 級数の
(i) 半平面上の絶対収束性
(ii) 解析接続と帯状領域での有界性
(iii) 関数等式
を示す。今回は (i) を示した。
8/13 平之内 [G] §5.5 C. 虚数乗法の主定理
楕円曲線の虚数乗法の主定理を Abel 多様体に一般化した主定理と、モジュライの体について
この節だけで3ヶ月以上かかってしまった…
7/30 山崎 [G73] §3 主定理
主定理の紹介と、証明の概略。§1,2 の結果と Hasse-Weil の逆定理を用いる。
7/16 平之内 [G] §5.5 C. 虚数乗法の主定理
主定理の手前まで。
Abel 多様体の自己準同型環の不変微分による表現と複素表現が同型である事とか
7/2 山崎 [G73] §2 テータ級数
こんなに面倒だとは…
6/25 平之内 [G73] §1
6/18 山崎 [G] §5.5 B.
6/11 平之内 [G73] §1
6/4 山崎 [G] §5.5 B.
5/27 平之内 [G73] Intro., §1
山崎君が abelian variety からなかなか帰ってこないので半整数weight を始めた。
半整数weight のmodular form の定義、その空間への両側剰余類の作用。
殆ど[G] 二章、三章そのまんま。
フォントが [G] で (ちょっと) 嬉しい。
5/20 山崎 [S] §6.8,7.1 偏極 Abel 多様体と Siegel モジュラー群
5/13 平之内 [S] §6.7 Jacobi 多様体
compact Riemann 面に付随する Jacobi 多様体の構成、周期の話。
5/7 山崎 [S] 6章前半
テータ関数から Riemann form を構成した。
4/23 平之内 5.5 高次元 Abel 多様体の虚数乗法
A. Algebraic preliminaries
4/2 山崎 5.4 虚二次体上の類体の構成
虚二次体上の Hilbert 類体、ray 類体が楕円曲線の j 不変量等で構成できる事を示した。
3/23 平之内 5.3 虚数乗法を持つ楕円曲線の主定理
主定理の証明。
3/12 平之内 5.1 準備
algebro-geometric object と有理性に関して。Weil 風の定義がしんどい。
3/5 平之内 5.1 準備、5.3 虚数乗法論の主定理
虚数乗法を持つ楕円曲線 E の自己同型環への体同型の標準的な選び方を決めて
主定理の途中まで証明した。
2/27 山崎 5.2 アデールによる類体論
アデール (イデール) を使った類体論の復習。
2/20 平之内 [M] §7 標準モデル
モジュラー曲線の標準モデルについて
2/10 山崎 [M] §5 Hecke 作用素
Hecke 作用素を用いた保型 L の Euler 積表示と保型形式の空間の Z 構造を求め、Hecke 対応について述べた。
2/3 山崎 [M] §5 Hecke 作用素
Hecke 作用素の復習。始めに格子の成す集合に作用を定義して
格子の成す集合上の複素数値関数が弱モジュラー形式と一対一対応していることを用いて
モジュラー形式の成す空間への作用素である Hecke 作用素を定義する。
1/20 平之内 [M] §2～§4
四元数環から来る Fuchs 群の紹介をして、基本領域と二元二次形式との関係を述べ、
モジュラー群Γに関するモジュラー形式はモジュラー曲線 X(Γ) の直線束の大域切断と書けること、
またその逆も成り立つ事を示した。
1/9 山崎 [M] Intro, §1. Preliminaries
楕円曲線、modular form, Riemann 面の復習とこれ等の関係を
Riemann 面上の正則関数を見つけるという観点から見た。
更に Riemann 面を環付き空間や代数曲線として見たときの特徴を挙げた。
12/30 平之内 4.6 J 不変量の性質
J 不変量が代数的整数であることを証明した。

2003 年

12/27 平之内 4.5. 楕円曲線の自己同型群, 4.6 J 不変量の性質
前節までは End(E) を見て来たがこの節ではその部分群 Aut(E) を使って楕円曲線を分類する.
E が虚数乗法を持たないのであれば End(E) = Z から Aut(E) = {±1} なのだけれど
虚数乗法を持つ場合で Aut(E) が ±1 以外の元を持つのは、
初等整数論から K=Q(i), K'=Q(ζ) (ζ:1の 3乗根) の二つしかない事が分かっている.
何れも類数 1 なので前節までの結果から、End(E) tensoring Q が K (type A) or K' (type B) と同型になる
楕円曲線の同型類は 1 つ。
これらのことから
楕円曲線の同型類は non-CM, Type A (CM), Type B (CM) の 3 つに分類される.
更に E :y² =4x³ -c₂x-c₃ とすれば、
Type A (resp. Type B) ⇔ c₂ = 0 (resp. c₃ = 0) である。
後は Weber 関数 (みたいなもの) を定義してその簡単な性質を示し、
4.6 の J(E) が代数的数であることを示した。
12/26 山崎 4.4. C 上の楕円曲線の自己準同型と同型射
虚二次体 K を与えた時に、自己準同型環 (tensoring Q)
が K と同型になる様な E の C 上の同型類を求める.
この問題は K の整環を o とした時に、prper o-ideal を modulo 単項イデアルで
分類する事に帰着される。
prper o-ideal全体 (modulo 単項イデアル) は群構造を持ち、
特に、 K の極大整環 (= 整数環) を o_K としてやれば、
proper o_K イデアル全体 (modulo 単項イデアル) は K のイデアル類群 Cl(K) である。
この事から、自己準同型環が o_K と同型と成る様な楕円曲線の同型類の類数は
K の類数 (=イデアル類群の位数) となることが示された。
12/19 山崎 4.4 C 上の楕円曲線の自己準同型と同型射
楕円曲線間の isogeny が lattice を保つスカラー (複素数) と一対一対応している事を証明し、
これを用いて虚数乗法を持つ楕円曲線の特徴づけを行った。
例えば、楕円曲線が虚数乗法を持つ為の必要十分条件は、
その lattice の基底の商 z が上半平面に入るようにした時, 有理数体に z を添加した体が虚二次体となること。など
12/9 平之内 4.3 楕円曲線状の有限位数の点と 1 の冪根
楕円曲線と次数零の Picard 群との同型を用いて Weil paring を定義し、その簡単な性質を見た。
11/28 山崎 4.2 C上の楕円曲線
複素数体上の楕円曲線、楕円関数等のおさらい。
11/11 平之内 4.1 体上の楕円曲線
4 章から奇数節が僕の担当になりました。
最初は付録にあった用語の確認と、楕円曲線にまつわる簡単な事実。
特に j不変量に関して、さらっと述べました。
11/04 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
漸く3 章終了。この日やったのは 3.6 の保型形式に付随する指標付き L 関数の
関数等式などを示すための道具なのだけど、順序が逆になってしまいました。
それにしてもこの節はハードだった。お疲れ様。
10/28 平之内 3.6 モジュラー形式に付随するゼータ関数の関数等式
入院やら集中講義やらで久しぶりのゼミ。カスプ形式に付随する指標つき L 関数の関数等式等を示した。
9/19 平之内 3.6 モジュラー形式に付随するゼータ関数の関数等式
関数等式を示すための準備。
9/15 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
定理 3.48 とか
9/11 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
9/8 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
9/4 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
unitary A-module ...
9/2 山崎 3.5 Hecke 作用素と Fourie 係数の関係
指標付きの cusp form を定義した。
8/27 平之内 3.4 保型形式に於ける両側剰余類の作用
S_k(Γ) に Petersson 内積を定義, Hecke 作用素ができた.
8/11 山崎 3.3 合同部分群に対する Hecke 環
T'(q,q) 及び R(Γ',△') について. 主対合を用いた.
8/8 平之内 3.4 保型形式に於ける両側剰余類の作用
保型形式の成す空間への両側剰余類の作用を定義, 簡単な性質.
8/6 山崎 3.3 合同部分群に対する Hecke 環
前回の続き.
8/1 山崎 3.3 合同部分群に対する Hecke 環
前回の続き.
7/29 山崎 3.3 合同部分群に対する Hecke 環
合同部分群 Γ' と △ の部分集合 △' に於ける Hecke 環 R(Γ',Δ') の構造を調べる.
7/15 平之内 3.2 形式的 Dirichlet 級数と Euler 積
Hecke 環 R(Γ,Δ) の元の間の公式のようなもの達の証明.
7/8 平之内 3.2 形式的 Dirichlet 級数と Euler 積
Hecke 環 R(Γ,Δ) の構造を R_p⁽ⁿ⁾ に分解して調べた.
7/1 山崎 3.1 Hecke 環の定義
Hecke 環の定義. 可換環と成る条件等.
7/1 平之内 3.2 形式的 Dirichlet 級数と Euler 積
G = GL_n(Q), Γ=SL_n(Z), Δ = GL_n⁺(Q) の場合の話.
6/24 山崎 3.1 Hecke 環の定義
Hecke 環の定義の前の準備.
6/17 山崎 2.5 H/Γ の測度
定理 2.20 基本領域の面積を計算.
6/10 山崎 2.5 H/Γ の測度
基本領域の面積を計算(途中).
6/10 平之内 2.6 カスプ形式の空間の次元
重さ k が偶数の時, 保型形式の空間 G_k(Γ), S_k(Γ) の次元を計算した.
6/3 平之内 2.4 保型形式の因子

重さ k が奇数の場合の A_k ≠ 0 の証明が残っていたのを終わらせた.
6/3 山崎 2.5 H/Γ の測度
H/Γ 上に測度を定義して, 全測度が有限なる事を示した.
5/27 平之内 2.4 保型形式の因子
重さ k > 0 の保型形式に対する因子を定義し, k/2 次の微分形式との対応を用いて,
因子を書き表すことができる. 特にカスプ形式の全体 S₂ は,
有効な 1 次微分形式の成す C ベクトル空間と同型であることを示して,
C 上の次元が g (基本領域の成すリーマン面の種数) となることを見た.
5/27 山崎 2.5 H/Γ の測度
H 上の微分形式の SL₂R による変換の定義.
5/27 平之内 2.4 保型形式の因子
高次の微分形式を定義して, それから保型形式のなす集合がベクトル空間となることを示した.
5/20 山崎 2.3 Riemann-Roch の定理
Riemann 面上の因子, 微分形式の定義, Riemann-Roch の定理の紹介
5/13 山崎 2.1 保型形式と保型関数の定義
5/6 山崎 2.1 保型形式と保型関数の定義
4/29 山崎 2.1 保型形式と保型関数の定義
平之内 2.2 保型形式と保型関数の例
4/18 山崎 2.1 保型形式と保型関数の定義
平之内 1.6 SL₂Z の合同部分群
Γ(N) 同値でないカスプの決定
4/11 山崎 1.5 リーマン面としての H^*/Γ
4/11 平之内 1.6 SL₂Z の合同部分群
Γ を主合同部分群としたときの H^*/Γ の種数を計算
4/4 山崎 1.5 リーマン面としての H^*/Γ 続き
H^*/Γに複素構造を入れた.\ 後は分岐指数の定義など
3/14 山崎 1.5 リーマン面としての H^*/Γ
3/14 平之内 1.6 SL_2(Z)の合同部分群
合同部分群の定義とか
3/12 山崎 1.3
3/12 平之内 1.4
H/SL_2(Z) の基本領域とか
3/7 山崎 1.3
平之内 1.4 モジュラー群SL_2(Z)
Γ = SL_2(Z)の時のカスプ、楕円点の決定
2/28 山崎 1.3 位相空間Γ/H^*
取り敢えず上半平面とカスプの和H^*に位相を入れました
2/21 平之内 1.2 cusp、楕円点の定義等
2/14 山崎 1.1
2/14 平之内 1.2 一次分数変換の分類
2/7 山崎 1.1
1/31 山崎 1.1 続き
局所コンパクトの定義でもめました。
1/24 山崎 1.1 変換群と商空間
位相のおさらいになってしまった。

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