素数大好き

M1セミナー

2004/3/25 平之内

Mochizuki, S., A version of the Grothendieck conjecture for $p$-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499--506. の紹介。セミナは証明の前半部分だけで終わった。

2004/3/18 藤原

Satoh, T. and Skjernaa, B. and Taguchi, Y., Fast computation of canonical lifts of elliptic curves and its application to point counting, Finite Fields Appl. 9 (2003), no. 1, 89--101.
の紹介。

2004/3/11 原田

高次元局所体の位相について。

2004/3/4 平之内

McLean, K. R., Commutative artinian principal ideal rings, Proc. London Math. Soc. (3) 26 (1973), 249--272.　の紹介

2004/2/26 藤原

Lefshetz

2004/2/19 原田

高次元局所体の紹介。構造定理の証明と、高次元局所体の拡大、分岐指数の定義。

2004/2/12 平之内

有限次分離拡大体の分岐の取り方、群構造を持たない「分岐群」が構成できて、
これを用いて定義した Herbrand 関数と Newton polygon から来る変換関数が本質的に一致する事を示した。

2004/1/29 藤原

Frobenius matrix からゼータ関数を表示する最後のステップの説明。

2004/1/22 平之内

今週の主結果 : tdvr の拡大 B/A の分岐指数を e とすれば、lg(B) = e lg(A)。
後は、B の単数で x を A 基底、A 代数の生成元として取れる事を示し、
最小多項式を定義して、多項式環 A[T] の x の最小多項式による商で B が復元される事を示した。

2004/1/8 原田

Serre の "mass formula" (cf. [Se]) とは次の様なものである。
K をq 元体を剰余体に持つ局所体とし、 Σ_n で K の分離閉包の中の n 次完全分岐な K の拡大全体を表す。この時、次が成立する。
定理 (mass formula) Σ_{L ∈Σ_n} q^-c(L) = n.
ここで、c(L) := d(L) -n+1, d(L) は L/K に対する判別式の付値 (Ie, d(L) := v_L(D_L/K)) である。
これを用いて、
自然数 N を与えた時、「L/K に対する differente の L に於ける付置が N 以下」と言う条件を満たす L ∈ Σ_n は有限個。
が簡単に導かれる。今回は、mass formula の証明を [Se] に沿て行った。
これで田口ゼミの M1 は全員、フランス語の洗礼を浴びた事になる。

参考文献
[Se] J.-P. Serre, Une "formule de masse" pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d'un corps local, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 286 (1978), no. 22, A1031--A1036
[K] M. Krasner, Remarques au sujet d'une note de J.-P. Serre: "Une `formule de masse' pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d'un corps local" une démonstration de la formule de M. Serre à partir de mon théorème sur le nombre des extensions séparables d'un corps valué localement compact, qui sont d'un degré et d'une différente donnés, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 288 (1979), no. 18, A863--A865

2003/12/25 藤原

合同ゼータの因子を計算する為に、 Frobernius matrix α(Y) を計算するのだが、
より計算しやすい様に α(Y) が C(Y^p)^-1 α(0) C^{τ^-1}(Y) と分解できる事を示した。

12/18 平之内

代数曲線の Grotendieck 予想の local version の類似として「truncated」version を紹介した。
後は Serre の Corps locaux 第一章の truncated version について話した。道のりは遠い。

12/11 原田

田口先生とMoonさんに依る
「代数体 K の整イデアル I を割る Artin conductor を持つ半単純 mod.p 表現で像が可解なものの同型類は有限個」
なる定理と、この定理のC (複素数体) version の証明の解説。
証明の方針はどちらも同じで表現の有限性を示す為に、条件を満たす有限次 Galois 拡大の有限性を示す。
その際、絶対 Galois 群の上手い filtration を構成して Abel 拡大にまで持って行き類体論を使う。

12/04 藤原

今考えている代数多様体のゼータ関数は、Frobenius に依て誘導される射の determinant で構成される。

今回は Frobenius の上手いこと作用する有限生成加群を定義して、
次回あたりに Frobenius を行列に変換できるらしい。多分。

11/27 平之内

p-divisble group & formally Lie group

表現可能関手や群スキームなどのおさらいをした後、
有限群スキーム、foramlly Lie group の表現可能関手による定義と具体例を示した。
更に p-divisble group の定義をやって divisble formally Lie group
の成す圏と connected p-divisble group の成す圏が同値である事を紹介した。
但し証明をする暇は無かった。

11/20 原田

導手と表現の指標について。

局所体の有限次 Galois 拡大 L/K に対してその Galois 群 G の表現を通して Artin & Swan 導手を定義した。
これは特に分岐の程度を調べる事が出来る。一方、正則表現に付随する指標から導手が導かれる事を示した。

11/13 藤原

或る代数多様体 V^* の有理点を計算するための関係式を証明。
将来的にはこれを組み合わせて目標となる V の有理点を数えるみたいだ。

11/06 平之内

B_dR の構成。

10/30 藤原

有限体上の genus g の非特異射影曲線からくるゼータ関数の構成。

平之内

「Deeply ramified extension について」定義と簡単な性質。

10/23 原田

Artin-HasseのReciprocity Law, A.Wilesによる標数０の局所体へのReciprocity Law の一般化の紹介。

10/16 藤原

p-adic analysis and zeta functions (Paul Monsky)　二章、曲線上でゼータ関数と有理点の個数の関係について

7/17 けんご→。

楕円曲線に付随する Galois 表現のお話.

藤原

Alan G. B. Lauder ,Deformation theory and the computation of zeta function II の紹介.

有限体上の多項式の零点の個数を求める為に, その多項式で張られる affine 曲面のゼータを計算する.
このゼータ関数が, 決定的に得られるというアルゴリズムの概略を述べた.

平之内

Tate のアルゴリズムの証明と実装

7/10 平之内

楕円曲線を generic fiber に持つ minimal proper regular model の

special fiber を分類する小平-Ne'ron の定理を交点理論を使って証明した。

7/3 原田

局所体のノルム剰余記号に於ける explicit formula の説明

6/26 平之内

Ne'ron モデル

　 Kodaira type を求める Tate のアルゴリズムを実装するのが目的. 今回は arithmetic surface の話をした.

6/19 原田

K.Iwasawa, local class field theory

　形式群の定義等.

けんご→。

Modular Forms and Fermat's Last Theorem の B.Mazur による Deformation theory of Galois representations

　 Deformation とは何か. p-finiteness condition について

6/12 藤原

A.Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields (1949)

　前回の続き.

2003/6/05 平之内

W.A.Stein, An introduction to computing modular forms using modular symbols

　 modular form のおさらい、modular symbol の定義と Manin's trick の紹介をして、
簡単に modular form や楕円曲線との関連を述べた。

藤原

A.Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields (1949)

　 Weil の有名な論文。有限体上の方程式 a₀x₀^n₀ + … + a_rx_r^n_r = b の有理点の個数を数える。
先ず b = 0 の場合を示す。今回はその途中で終わった。

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2004/3/25	平之内
	Mochizuki, S., A version of the Grothendieck conjecture for $p$-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499--506. の紹介。セミナは証明の前半部分だけで終わった。
2004/3/18	藤原
	Satoh, T. and Skjernaa, B. and Taguchi, Y., Fast computation of canonical lifts of elliptic curves and its application to point counting, Finite Fields Appl. 9 (2003), no. 1, 89--101. の紹介。
2004/3/11	原田
	高次元局所体の位相について。
2004/3/4	平之内
	McLean, K. R., Commutative artinian principal ideal rings, Proc. London Math. Soc. (3) 26 (1973), 249--272.　の紹介
2004/2/26	藤原
	Lefshetz
2004/2/19	原田
	高次元局所体の紹介。構造定理の証明と、高次元局所体の拡大、分岐指数の定義。
2004/2/12	平之内
	有限次分離拡大体の分岐の取り方、群構造を持たない「分岐群」が構成できて、これを用いて定義した Herbrand 関数と Newton polygon から来る変換関数が本質的に一致する事を示した。
2004/1/29	藤原
	Frobenius matrix からゼータ関数を表示する最後のステップの説明。
2004/1/22	平之内
	今週の主結果 : tdvr の拡大 B/A の分岐指数を e とすれば、lg(B) = e lg(A)。後は、B の単数で x を A 基底、A 代数の生成元として取れる事を示し、最小多項式を定義して、多項式環 A[T] の x の最小多項式による商で B が復元される事を示した。
2004/1/8	原田
	Serre の "mass formula" (cf. [Se]) とは次の様なものである。 K をq 元体を剰余体に持つ局所体とし、 Σ_n で K の分離閉包の中の n 次完全分岐な K の拡大全体を表す。この時、次が成立する。定理 (mass formula) Σ_{L ∈Σ_n} q^-c(L) = n. ここで、c(L) := d(L) -n+1, d(L) は L/K に対する判別式の付値 (Ie, d(L) := v_L(D_L/K)) である。これを用いて、自然数 N を与えた時、「L/K に対する differente の L に於ける付置が N 以下」と言う条件を満たす L ∈ Σ_n は有限個。が簡単に導かれる。今回は、mass formula の証明を [Se] に沿て行った。これで田口ゼミの M1 は全員、フランス語の洗礼を浴びた事になる。参考文献 [Se] J.-P. Serre, Une "formule de masse" pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d'un corps local, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 286 (1978), no. 22, A1031--A1036 [K] M. Krasner, Remarques au sujet d'une note de J.-P. Serre: "Une `formule de masse' pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d'un corps local" une démonstration de la formule de M. Serre à partir de mon théorème sur le nombre des extensions séparables d'un corps valué localement compact, qui sont d'un degré et d'une différente donnés, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 288 (1979), no. 18, A863--A865
2003/12/25	藤原
	合同ゼータの因子を計算する為に、 Frobernius matrix α(Y) を計算するのだが、より計算しやすい様に α(Y) が C(Y^p)^-1 α(0) C^{τ^-1}(Y) と分解できる事を示した。
12/18	平之内
	代数曲線の Grotendieck 予想の local version の類似として「truncated」version を紹介した。後は Serre の Corps locaux 第一章の truncated version について話した。道のりは遠い。
12/11	原田
	田口先生とMoonさんに依る「代数体 K の整イデアル I を割る Artin conductor を持つ半単純 mod.p 表現で像が可解なものの同型類は有限個」なる定理と、この定理のC (複素数体) version の証明の解説。証明の方針はどちらも同じで表現の有限性を示す為に、条件を満たす有限次 Galois 拡大の有限性を示す。その際、絶対 Galois 群の上手い filtration を構成して Abel 拡大にまで持って行き類体論を使う。
12/04	藤原
	今考えている代数多様体のゼータ関数は、Frobenius に依て誘導される射の determinant で構成される。
	今回は Frobenius の上手いこと作用する有限生成加群を定義して、次回あたりに Frobenius を行列に変換できるらしい。多分。
11/27	平之内
	p-divisble group & formally Lie group
	表現可能関手や群スキームなどのおさらいをした後、有限群スキーム、foramlly Lie group の表現可能関手による定義と具体例を示した。更に p-divisble group の定義をやって divisble formally Lie group の成す圏と connected p-divisble group の成す圏が同値である事を紹介した。但し証明をする暇は無かった。
11/20	原田
	導手と表現の指標について。
	局所体の有限次 Galois 拡大 L/K に対してその Galois 群 G の表現を通して Artin & Swan 導手を定義した。これは特に分岐の程度を調べる事が出来る。一方、正則表現に付随する指標から導手が導かれる事を示した。
11/13	藤原
	或る代数多様体 V^* の有理点を計算するための関係式を証明。将来的にはこれを組み合わせて目標となる V の有理点を数えるみたいだ。
11/06	平之内
	B_dR の構成。
10/30	藤原
	有限体上の genus g の非特異射影曲線からくるゼータ関数の構成。
	平之内
	「Deeply ramified extension について」定義と簡単な性質。
10/23	原田
	Artin-HasseのReciprocity Law, A.Wilesによる標数０の局所体へのReciprocity Law の一般化の紹介。
10/16	藤原
	p-adic analysis and zeta functions (Paul Monsky)　二章、曲線上でゼータ関数と有理点の個数の関係について
7/17	けんご→。
	楕円曲線に付随する Galois 表現のお話.
	藤原
	Alan G. B. Lauder ,Deformation theory and the computation of zeta function II の紹介.
	有限体上の多項式の零点の個数を求める為に, その多項式で張られる affine 曲面のゼータを計算する. このゼータ関数が, 決定的に得られるというアルゴリズムの概略を述べた.
	平之内
	Tate のアルゴリズムの証明と実装
7/10	平之内
	楕円曲線を generic fiber に持つ minimal proper regular model の
	special fiber を分類する小平-Ne'ron の定理を交点理論を使って証明した。
7/3	原田
	局所体のノルム剰余記号に於ける explicit formula の説明
6/26	平之内
	Ne'ron モデル
	Kodaira type を求める Tate のアルゴリズムを実装するのが目的. 今回は arithmetic surface の話をした.
6/19	原田
	K.Iwasawa, local class field theory
	形式群の定義等.
	けんご→。
	Modular Forms and Fermat's Last Theorem の B.Mazur による Deformation theory of Galois representations
	Deformation とは何か. p-finiteness condition について
6/12	藤原
	A.Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields (1949)
	前回の続き.
2003/6/05	平之内
	W.A.Stein, An introduction to computing modular forms using modular symbols
	modular form のおさらい、modular symbol の定義と Manin's trick の紹介をして、簡単に modular form や楕円曲線との関連を述べた。
	藤原
	A.Weil, Numbers of solutions of equations in finite fields (1949)
	Weil の有名な論文。有限体上の方程式 a₀x₀^n₀ + … + a_rx_r^n_r = b の有理点の個数を数える。先ず b = 0 の場合を示す。今回はその途中で終わった。