(参考文献)

[1] Sturm, J., "On the congruence of modular forms", Number theory (New York, 1984--1985), 275--280, Lecture Notes in Math., 1240, Springer, Berlin, 1987. [2]Lario, Joan-C., Schoof, Ren'e, "Some computations with Hecke rings and deformation rings" With an appendix by Amod Agashe and William Stein. Experiment. Math. 11 (2002), no. 2, 303--311.

(平之内) Abbes, A. and Saito, T., Ramification of local fields with imperfect residue fields. II., Kazuya Kato's fiftieth birthday., Doc. Math. 2003, Extra Vol., 5--72 (electronic). の§1.1, 1.2 の紹介と、それを読んで思った事.

(富田) holomorphic elliptic modular cusp forms の空間 S:=S_k(Γ_1(N)) は C 上有限次元ベクトル空間で, Hecke 環が作用する. Kの整数環を O と表したとき, O-加群 S(O):=S_k(Γ_1(N);O):=S_k(Γ_1(N))∩O[ [q] ] の適当な部分加群Xをとって商加群S(O)/Xに対してAnn_O(M(O)/X)を具体的に求めるということを考えている. この問題は Hecke 作用素のモジュラー形式の空間への作用の locally nilpotent 問題と関係している. 具体的計算の過程でいくつか面白いパターン見つけたのでそれを予想として話した.

(参考文献)

[1] K. Ono and Y. Taguchi,"2-adic properties of certain modular forms and their applications to arithmetic functions", preprint.

[2] J. -P. Serre,"Valeurs propres des op\'erateurs de Hecke modulo $l$", Asterisque 24-25 1975, pp. 109--117.

[3] J. -P. Serre,"Divisibilit\'e de certaines fonctions arithm\'etiques", L'Enseignement Math. 22 1976, pp. 227--260.

[4] J. Tate,"The non-existence of certain Galois extensions of $\mbQ$ unramified outside 2", Arithmetic geometry (Tempe, Az., 1993), Contemp. Math. 174, Amer. Math. Soc., Providence, RI., (1994), pp. 153--156.

(原田) 分岐と剰余次数を抑えた局所体の mod.p Galois 表現の有限性について

(平之内) 局所体の分岐群とその導手の Rigid 解析的解釈