このホームページを立ち上げてから、もう約一年になります。この間多くの方からメールをいただきました。本当にありがとうございました。

ところが、大変印象深く読ませていただきましたのに、私の不精からお返事をいまだ差し上げていない方が少なからずいらっしゃいます。この場を借りましてお詫び申し上げます。

また読者の中には経済学に馴染みの無い方も当然ながら、いらっしゃるようです。ご自分が文科系だから、良くわからないとおっしゃるのです。しかし経済学も文科系なのですから、どなたでもおわかりいただけるものと思っています。

しかしながら、辻村の仮説というのはたしかに入門書の最初の１５ﾍﾟｰｼﾞぐらいの範囲だけで理解できる程度のものなのですが、考えてみれば、後に経済学会の会長になったり、文化功労者になったりする人間に、望遠鏡の絵を使ってまでして説明したのに、皆様方には小文「消費選好場と相対性」を添付しただけですから、当然と言えば当然かもしれません。

私としましては、慶応義塾の悪徳ぶり、や辻村仮説の馬鹿馬鹿しさは、悪党黒田昌裕などの電話内容などをお聞きになると、賢明なる読者の皆様は自ずとお分かりになるはずだと思っていたわけです。

事実たいていの皆様には、そのようにご理解いただけたようです。ただ一部の方には、自分の力で、問題となっている経済学が理解できないという点で、少し歯がゆく、物足らなかったようなのです。それはその通りです。

そこで「限界効用とは何か」について、ご希望の方には雰囲気だけでもご理解いただけるように努めることとしました。そのためには三十数年前に辻村氏に出した質問状と同じような内容のものとするのがベストだと思います。

科学は測定可能な変数の間に存在するか、または存在すると想定されうる関係のみを研究対象にすることは、言うまでもありません。勿論経済学も科学であるためには、そうあらねばなりません。

現在でも基数的効用を仮定すればというような、奇妙な仮定に出くわすことが多いのですが、これらは実際に、何かを尺度として効用を測定できない限り、科学とは無縁のものであるとして無視することにします。

この点にかんしては、後ほど自然とおわかりになるのではないかと思います。

ところで現代の消費の理論は基数的効用という測定不可能な概念をしりぞけてしまったのですが、効用という言葉や、限界効用という言葉は、その伝統性ゆえ現在でもよく使用されます。

勿論正しい意味を理解していない限り、混乱のもととなります。それ故何よりもまず、序数と基数の違いについて、はっきりしておかねばなりません。

私たちは基数的な数に慣れています。長さが１０ﾒｰﾄﾙ、重さが１００グラムと言ったりするのが、その例です。

これらは、いづれも何らかの尺度、つまり「ものさし」によって測られた数です。「ものさし」の１０倍とか１００倍とか言っているわけです。

ここでは１０ﾒｰﾄﾙは５ﾒｰﾄﾙの２倍であるとか、１００グラムの重さは３０グラムの重さと加えられると１３０グラムになるとかの周知の算術が適用されます。

昔の経済学者は効用をあたかも測定できるかのように考えて「理論のようなもの」を組み立てたのでした。

しかし、例えば「日本酒」二合と「焼き鳥」三本を飲食して、たしかに満足感は得られますが、この満足感を何単位の満足感であるか、つまり何単位の効用であるかということは測定できませんし、知ることもできません。

それゆえ、さらに「日本酒」一合を追加して、「日本酒」三合と「焼き鳥」三本を飲食すると何単位の効用が増加するかというような議論、つまり基数的効用理論は無意味ということになります。

ちなみに「日本酒」二合と「焼き鳥」三本の満足感に比べて、「日本酒」をさらに一合追加することによって増加する満足感、つまり効用は「日本酒」二合と「焼き鳥」三本の組み合わせにおける「日本酒」の限界効用と定義され、また「日本酒」二合と「焼き鳥」三本の組み合わせの満足感に比べて、「焼き鳥」をさらに一本追加することによって増加する効用は「日本酒」二合と「焼き鳥」三本の組み合わせにおける「焼き鳥」の限界効用と定義されていたのです。

経済理論が無いということになると困るのは、商売上がったりとなる経済学者ですから、今度は序数的効用なる怪しげなものを考え出しました。

簡単な例をあげてこの序数的効用を説明してみることにしましょう。いつまでも「日本酒」だとか「焼き鳥」だとか言っているのも、効率が悪く、面倒なのでX財、Y財と呼びかえましょう。

今、財X、Yの三通りの組み合わせ A；（Ｘ財３単位、Ｙ財７単位）、 B；（X財１０単位、Ｙ財１２単位）、 C；（Ｘ財１３単位、Ｙ財２単位）の序数的効用 、、 について考えてみましょう。

は効用（ｕｔｉｌｉｔｙ）を表しています。

＝２０、 ＝６０、＝２０としてみましょう。

勿論先にお話したように、これらの数値は、例えばＡの組み合わせを消費することによって得られる満足感、または効用を何らかの尺度で測った大きさが２０であるなどと言っているのではありません。

この場合われわれが言えるのは=、 >ということだけなのです。

ここで−＝４０などということは意味がないし、またはの３倍であるなどと言っても意味がないのです。

序数的効用の数値と言うのは、何らかの尺度の何倍かであるということを示すものではなく、財の幾通りかの組み合わせから得られる効用の大小関係だけを示す背番号のようなものに過ぎません。効用指標と呼ばれることがあるのは、ここらあたりの事情を強調するためです。

われわれは =、 > という関係を示すために、上の序数のセットを使用したのであって、両者は全くの同義なのです。

それ故上の序数のセットにおいて ＝６０というのを ＝２１に置き換え、

＝２０、 ＝２１、 ＝２０、という新しい序数的効用のセットを作っても、はじめのセットと同義なのです。

当然このような効用のセットは無限個作ることができます。

例えば 、、 とも正ですから、 、 をそれぞれ２乗しても、

＝４００、＝３６００、＝４００、となり、三者の間で大小関係は変わりません。それ故これもはじめの効用のセットと同義なのです。

勿論 −＝３２００、だとかはの９倍であるなどと言っても無意味なのです。

また、、にそれぞれ１５を加えても、

＝３５、＝７５、＝３５、となり、これも同義の効用のセットであると言えます。

いずれのセットも見かけの上では異なりますが、全く同等のことを、つまり

=、> という関係を述べているに過ぎません。

大変しつこく言いましたが、序数的効用の値というのは、順序を示すだけで、大きさそのものには何ら意味がないのです。

勿論、、の間に上のような選好の序列があると仮定すれば、消費者は何の制約もないなら、効用を最大にするためには、組み合わせB；（X財１０単位、Ｙ財１２単位）、を選択するはずです。

現代の消費の経済学というのは或る意味において、これと五十歩百歩なのです。

けれども、こんなものは当然、理論でもなんでもありません。効用は測定不可能ですし、検証もできないからです。この三つの組み合わせの大小関係だけなら、わざわざ序数のセットで書かなくても=、 > という関係ですっきり表現できるのですが、組み合わせの数が多くなると、等号や不等号では処理できなくなります。

なお、余談ながら、いくつかの「数」を大きさの順に選ぶということは、驚いたことにチンパンジーでも、軽々とやってのけます。有名なチンパンジーの「天才アイちゃん」のすばらしいワザがネット上でご覧いただけます。まるで百人一首のカルタ取りの名人を彷彿させるようなスピードです。お急ぎでない方は、ぜひ見てやって下さい。

「京都大学霊長類研究所：実験風景」の「数の認識課題」から１４秒の動画です。

http://www.pri.kyoto-u.ac.jp/ai/video/vi-exp/vi-exp.html

ところで、このような序数的効用をグラフに書くにはどうすればよいのでしょうか。

基数的な数なら、デカルト以来のあのおなじみの方法でやれば良いでしょう。

つまり、測定単位をそろえ、その単位に対応する線分の長さを、例えば１００メートルで、これこれと定めておけば、すべての長さが０を基準として、一本の直線の上で、一義的に表現できます。

しかし先にあげたX財、Y財の三通りの組み合わせ、A、B、Cの序数的効用の値は大小関係以外は意味を持ちません。それ故、序数的効用を本来の意味でグラフに書くことはできません。

けれども後での便宜のため、序数的効用の大きさは無意味であり、グラフになど書くことはできないということを、わきまえた上、あたかも何らかの尺度で測った基数的効用であるかのように等間隔に目盛ったグラフで、序数的効用の値を表すことができましょう。

無限個のグラフのうち、先に示した三つの例がX ,Y ,Uの三次元に正確にではなく、大雑把に描かれます。

勿論この三つの絵は全く同じことを、つまり=、 > という関係を述べているのであり、見かけ上異なるのは、こちらが基数的表示方法を使用しているからです。三つのセットの内、どのセットが真のセットか分からないなどと悩むこと自体がおかしいことなのです。皆、同じなのです。

序数的効用という本来の性質を、もっと明確に示そうとすれば、むしろ次の図の方がふさわしいかもしれません。

序数的効用の意味はもう、お分かりになったことと思います。私も序数の意味については、これ以上知りません。
この序数の意味をも理解せず、「習慣形成仮説」なるものを考案し、私の指摘により序数の意味を理解した後も、この間違い仮説を引っ込めず、私を商学研究科委員長の名前をかたってまでして、退学させようとしたのが、辻村や黒田なのです。そしていまだに、こうした間違いを正すことなく、学生に教えているのが悪徳慶応義塾なのです。

ところで、今まではX財、Y財の三通りの組み合わせについて、お話ししましたが、組み合わせの数がもっともっと多くなると、少し厄介なことになりそうです。もう前の三通りの組み合わせの例のように、選好の序列を知り得るというかんじもしなくなることと思います。

今度は、先のグラフのように平面において、X財、Y財の色々な組み合わせを示す位置ごとに、対応する序数の値を、あたかも、その値を知っているかのように、また基数的効用であるかのように垂直に想い描いてみてください。

ヘアーブラシを、針先が天井の方に向くように置いたような、あるいは生け花で使う剣山を平面に置いたようなグラフがイメージされるはずです。

ところが、これと同義の、別の序数的効用のセットを作ったり、グラフを使ってお話をしようと思うとややこしいことになります。

そこで函数というものに登場していただくことになります。

さて、或る消費者が序数的効用関数を持っているものとしましょう。

簡単のため彼の買う商品の種類が２種類、つまりX財、Y財に限られている場合について考えていきます。

つまり今までと同じです。消費者の序数的効用関数は

＝（，）です。

前の例と同様にX財、Y財の色々の組み合わせに対して、の値がそれぞれ対応します。

この値は先の例のように２０とか６０とか、前もって与えられてはいませんが、そのような数値が対応しているものと考えてください。

今は効用関数のかたちには、こだわられる必要はありません。ブラックボックスで良いのです。

X財１単位、Y財１単位の組み合わせに対する効用、（１，１）が、例えば９０であり、X財１単位、Y財２単位の組み合わせに対する効用（１，２）が例えば９５であるというように考えてください。

平面の上にこのような値を、それぞれの組み合わせを示す、あらゆる位置ごとに、基数的効用のように垂直に想い描いてください。
先にお話ししましたようにヘアーブラシのようなグラフがイメージされると思います。

すべての位置でこれをやると、針の数が増えることにより、ヘアーブラシの針の間隔が、ぐっと密になり、まるで毛が密集した筆の先のような状態になると思います。

このようなグラフでイメージされる序数的効用のセットと同義のセットは、前の例と同じく無限個つくることができます。

例えば効用の値は、X財、Y財のすべての組み合わせに対して、正という約束をしていますと、すべての値を２乗しても、大小関係は変わらないので、この効用のセットは初めのセットと全く同義ということになります。３乗しても、４乗しても同じです。
勿論すべての値を１００倍しても、７５０倍しても、あるいは４５を足しても、これらの効用のセットは初めのセットと同義なのです。

ですから、どの効用のセットを使ってお話をしても良いのですが、残念なことに序数と基数は見かけは同じなので、或る効用関数が提示されたとき、それが序数的効用関数として正しく理解されているかどうかは、この効用関数と同義のもう一つの別の効用関数も同時に議論していくのがわかりやすいと思います。

このような効用関数は何度もお話しましたように無限個作ることができますが、簡単のため前と同様、すべての値を２乗した効用関数を採用することにしましょう。このように初めの大小関係と同じ大小関係を別に作ることを単調増加変換すると言います。この言葉が出てくる時は、ああこのことを言っているのかと思い出して下さい。

この２つの効用関数は全く同義なのですが、基数的効用関数でないと、わきまえた上、前と同様、われわれは効用関数の値の命ずるまま、あたかも基数的効用関数であるかのように , , の３次元に効用曲面を描くことができます。実際ここに正確に書いてみせることはできませんので、印象派的手法を使ってみることにしましょう。小道具は望遠鏡を使います。望遠鏡は伸び縮みするタイプのもので、そのスケッチは下の通りです。

太い筒の中に細い筒が順々に入っています。どのように伸ばしても、縮めても、筒の右端の断面ａ，ｂ，ｃ，ｄ．．．は細い筒ほど右に位置しています。

今度はこの望遠鏡をカーアンテナのように、細い筒が上になるように立て、そして平面に置いてみましょう。

次にこの望遠鏡に、かければ透明になってしまう薬をかけてみましょう。そして望遠鏡が透明になった直後、この望遠鏡が伸び縮みをはじめ、しばらくして静止したものとしましょう。

すると印象派的な効用の丘の出来上がりです。

もはやａ，ｂ，ｃ，ｄ．．．の真の高さについては何も言うことはできません。しかしながら望遠鏡がどのような状態にあるとしても

ａの高さ＜ｂの高さ＜ ｃの高さ ＜ ｄの高さ．．．．．

という関係は保たれているはずです。

勿論ここで ｂ の高さは ａの高さよりどれだけ高いとか、ｃ の高さは ａの高さの何倍であるなどといっても ａ，ｂ，ｃ．．．は測定不可能なのですから無意味です。
なお ａ の効用水準を持つX財、Y財の組み合わせを結んだ曲線は、経済学で最初に教えられる「無差別曲線」という曲線です。
平面はａ，ｂ，ｃ，ｄ．．．などの序数的な効用水準で示される無差別曲線群で満たされることになります。

われわれが、消費者が序数的効用関数を持つ、つまりにかんする一定の無差別曲線群を持ち、北東方向へ行くほど効用水準は高くなりますが、基数的な意味での効用水準に対する情報は全く持っていないというのは、この印象派的効用の丘のような効用曲面を持っているというのに「似ています」。

透明なのですから、われわれはこの効用の丘に関して、その高さにも、等高線の形状にも全くの無知です。しかしこの効用関数の持ち主である消費者は、たとえその基数的な意味での効用水準は知らなくても、色々なの組み合わせから得られる効用の大小関係を判別し、彼の効用を最大にするように行動するものとしましょう。

するとわれわれは彼の行動の結果としての経済資料から、彼の効用の丘の等高線の形状を推定する可能性を持つのです。

やや話が先走り過ぎたようです。それ故話を元にもどします。

先に述べましたように序数的効用関数 ＝（，）はのすべての組み合わせに対して、それぞれ一義的な、つまりそれぞれ１個だけ、の値が対応します。勿論この値は順序を示すだけであり、背番号のようなものと解されるべきですが、効用関数そのものは、基数的効用関数と序数的効用関数とは全く見わけがつきません。

序数的効用の値が大小関係を示す以外、無意味であるということを強調するために、

＝（，）と の単調増加函数の一つ

（）＝＝＝ をあたかも基数的効用であるかのようにグラフを書いてみます。

これを先の印象派的効用の丘の例で言えば、ａ＝５０，ｂ＝６０，ｃ＝７０，ｄ＝８０などという数値をつけ、この数値は序数であり、差は問題ではなく、順序だけが意味を持つのであると言っても、これらの数値は、その高さをなんらかの尺度で測定し、ａ＝５０，ｂ＝６０，ｃ＝７０，ｄ＝８０などと言っているのとまぎらわしいから、これらの数値の大きさが無意味であることを強調するため、ａ，ｂ，ｃ，ｄ．．．．に順序が変わらない別の数値をつけ、この数値も何らかの尺度で測られた高さであるかのように、二つの状態をグラフに書き、一緒に考えていこうということになります。
勿論この２つのグラフはまったく同じことを言っているのです。まったく同等で、無差別なのです。

＝（，）、および（）＝＝の印象派的グラフ及び、両者に共通な無差別曲線が次にえがかれます。図がまずいのはお許し下さい。

勿論＝（，）、（）は全く同義なのであり、効用の大きさ、つまり効用曲面の高さが見かけ上異なるのは、基数的な表示方法を使用しているからです。

効用は順序的な数でしかないのです

われわれは効用を測定できなくとも、消費者が一定の選好の序列を持っているだけで、つまり序数的効用関数を持っているだけで、所得と、Ｘ財、Ｙ財の価格が与えられると需要量が一義的に決定されると教えられます。

つまり或る一定の選好の序列を表すためには、たった一つの効用関数だけが対応するわけではありませんが、無差別曲線さえ一定であれば、任意の効用関数を採用しても、消費者の効用極大化行動により、一定の所得と価格に対して、全く同じ均衡需要量が決定されると教えられます。

これは当り前のことで、先に示した＝（，）、及び（）＝＝において、効用水準は同じの組み合わせに対して異なった数値を示しますが、当然これらの数値は序数であり、＝（，）、及び（）＝＝は全く同義なのですから、すべてのの組み合わせに対応する効用の間で大小関係は同じであり、またこの大小関係しか意味をもたないのですから、所得制約の範囲では、所得線と最高位の無差別曲線の接点が効用極大となるX財、Y財の組み合わせとなるわけです。これは先に、、のうち、を選択したのと同じリクツなのです。

なお所得線は＝＋で与えられます。は所得、、はそれぞれX財、Y財の価格です。そして所得線の傾きは−となります。

学校で教えられる消費の理論とは、たいていこんな程度のことなのです。

それでは先のX財、Y財の三通りの組み合わせ、、のうち、効用が最大になるを選択するというのと、所得制約の中で、X財、Y財のあらゆる組み合わせのうち、所得線と最高位の無差別曲線の接点で示される組み合わせで効用が最大になるというのでは、一体何が違うのでしょうか。

勿論組み合わせの多い少ないという違いは当然ですが、それ以外では、先の三通りの組み合わせの例では、消費者が三通りの組み合わせに対して、選好の序列を持ち、実際にＢの組み合わせを選んだのなら、Ｂの序数的効用はＡ、Ｃの序数的効用より大きかったであろうということでしょう。
しかし、、の値は数値例として与えられただけですから、実際に「組み合わせＢ」がもっとも効用が大きいとか、消費者が効用極大化行動をとるということを直接に証明したり、検証したりすることはできません。
Ａ，Ｂ，Ｃの組み合わせの内、消費者がＢを選んだのなら、それは無意味に、偶然に選んだのではなく、消費者が効用極大化行動をとり、Ｂが最も効用が大きかったと考えられるのではなかろうかと遠慮がちに考えられるだけです。それ以上何も言えません。次の機会に、Ｘ財、Ｙ財のどんな組み合わせを選ぶのか予想もつかないのは当然です。予測などまったく出来ません。実際こんなものは科学でも理論でもありません。

後者の場合も所得制約の中で、消費者が効用極大化行動をとるものとすれば、所得線と最高位の無差別曲線の接点であるＸ財、Ｙ財の組み合わせを選ぶはずであるということは簡単な図からも明らかでしょう。

先の三通りの例と同じく、消費者が序数的効用関数を持つとか、効用極大化行動をとるということは、決して直接に検証はできません。それよりも実際に消費者が所得線の一点で表される或る組み合わせを選んだとすれば、その組み合わせが所得制約の中で、最も高い効用指標を持ち、消費者が効用極大化行動をとった結果だと考えようということに他ならないわけです。

今までの議論では、実際に期に観察されたＸ財、Ｙ財の組み合わせ（、）は期における所得制約の中で、最も高い効用指標を持つ組み合わせであり、この組み合わせを表す点で無差別曲線は所得線と接するわけですから、無差別曲線のこの点における傾きは所得線の傾きに等しいはずであるということが要請されます。

次の期＋１期も、その次の期＋２期も、いつの期においても、実際に観察されるＸ財、Ｙ財の組み合わせはその期における最高の効用指標を持ち、その組み合わせを示す点における無差別曲線の傾きは、その期の所得線の傾きに等しいはずということになります。

勿論これはただの約束にすぎません。ただこの場合には先の場合と違って、いくつもの実際に観察されたＸ財、Ｙ財の組み合わせを示す点における無差別曲線の傾きを教えてくれるわけですから、この点とその位置における無差別曲線の傾きを経済資料として、沢山集めることが出来、その結果として、安定した無差別曲線群が描けるなら、つまり安定した序数的効用関数が存在するということを知ったなら、新しい所得線に対して、最高の効用指標を持つＸ財、Ｙ財の組み合わせを予測できるということになります。

もし安定した序数的効用関数が存在しないなら、消費者が序数的効用関数を持つとか、効用極大化行動をとるとかいうことでさえ無意味と言うことになってしまいます。これを調べるためには先に示した一般的な効用関数ではなく、具体的な効用関数を採用する必要があります。実際にどんな効用関数を採用すれば良いかはわからないわけですから、簡単なものから始めるのが常道でしょう。
ここでは辻村が採用した効用関数を検討するのが、一番話がしやすくなるものと思われます。これは同心長円の無差別曲線です。

＝（，）＝＋＋（＋）..........�@

（）＝＝（，）＝＋＋（＋）........�A

そして今一度印象派的効用の丘を描いてみましょう。

何度も言いますが（）の方が背が高く見えるのは、基数的な表示方法を使用しているからです。

ところでこのような効用関数を採用しますと数学嫌いの人は、このような式が高級で難しいものだと勘違いなさる方がいらっしゃいます。とかとか、などは本当の値が分からないので仮に符号をつけているだけなのです。（この符号はパラメターと呼ばれたりします） 例えば仮に、順に1000，2500，−8，−10だとすれば、

＝（，）＝1000＋2500−（8＋10）

ということだけですから、Ｘ財、Ｙ財の或る組み合わせ、例えばＸ財8単位、Ｙ財4単位の組み合わせにおける効用指標はこの式の，のところにそれぞれ８と４を代入すれば得られます。電卓を使えば簡単です。（足し算よりも掛け算を先にすることを思い出してくださいね）

（８，４）＝1000８＋2500４−（８８８＋10４４）＝17664 というわけです。

当然同じ位置における（）は｛（８，４）｝ですから、1766417664で312016896ということになります。

あまり何度も言いますと、怒り出される方もいらっしゃるのではと恐れますが、Ｘ財、Ｙ財のどの組み合わせに対する効用の値、つまり効用指標も何らかの「モノサシ」で測った大きさではなく、大小関係のみを示す指標に過ぎません。ですから例えば（１１，６）と（８，４）の差がどれくらいなのかを言っても無意味なのです。（ただし前者の方が後者よりも、Ｘ財、Ｙ財とも多いので、より大きいことが、また両者、ともに正であることが約束されています。）

つまり （１１，６）＝100011＋25006−（８1111＋1066）＝25336 と計算し、

二つの効用の差、つまり、25336−17664＝7672などと言っても、この値は全く無意味なのです。

ちなみに、これは（）では｛（１１，６）｝−｛（８，４）｝＝641912896−312016896＝329896000 となります。

ところで冒頭、基数的効用理論の説明をさせていただいた時に、限界効用の定義についてお話しました。

それによりますと、例えばＸ財8単位、Ｙ財4単位の組み合わせにおけるＸ財の限界効用は

（８，４）と（８＋１，４）つまり、（９，４）の差として定義されていました。

（９，４）＝1000９＋2500４−（８９９＋10４４）＝18596と計算されますから、

この数値例では「（８，４）におけるＸ財の限界効用」＝（９，４）−（８，４）＝18596−17664＝932となります

さらにこの組み合わせよりＸ財を1単位追加することによって増加する効用、つまりＸ財９単位、Ｙ財4単位の組み合わせにおけるＸ財の限界効用は（１０，４）−（９，４）と定義されます。

（１０，４）＝100010＋2500４−（８1010＋10４４）＝19520と計算されますから、

「（９，４）におけるＸ財の限界効用」＝（１０，４）−（９，４）＝19520−18596＝924となります。

組み合わせ（１０，４）より、さらにＸ財を1単位追加することによって増加する効用、つまりＸ財１０単位、Ｙ財4単位の組み合わせにおけるＸ財の限界効用は（１１，４）−（１０，４）と定義されます。

先と同様に、 （１１，４）＝20436と計算されますから、

「（１０，４）におけるＸ財の限界効用」＝（１１，４）−（１０，４）＝20436−19520＝916となります。

同様に組み合わせ（１１，４）より、さらにＸ財を1単位追加することによって増加する効用、つまりＸ財１１単位、Ｙ財4単位の組み合わせにおけるＸ財の限界効用は（１２，４）−（１１，４）と定義されます。

（１２，４）＝21344と計算されますから、

「（１１，４）におけるＸ財の限界効用」＝（１２，４）−（１１，４）＝21344−20436＝908となります。

このように、Ｘ財8単位、Ｙ財4単位の組み合わせから、Ｘ財を1単位ずつ追加していきますと、効用は増加し続けますが、この関数形では、その増加の程度は８ずつ減少していきます。
基数的効用理論では限界効用逓減の法則などと呼んでいました。
勿論序数的効用について議論しております私たちは、限界効用は序数の差でありますので、無意味ということをよく知っておりますよね。

ところで今度はＸ財8単位、Ｙ財40単位の組み合わせから、Ｙ財はそのまま固定しておいて、Ｘ財のみを1単位ずつ追加していくことによって増加する効用、つまり限界効用はどのように変化するのか見てみましょう。

前と同様に計算しますと、

（８，４０）＝99744

（９，４０）＝100676

（１０，４０）＝101600

（１１，４０）＝102516

（１２，４０）＝103424

というように、Ｘ財を1単位ずつ追加していきますと効用は932，924、916，908ずつ増えますが、その増加の程度は８ずつ減少しています。これは先の場合と全く同じで、Ｙ財が４単位でも、４０単位でも何ら変わりは無いように見えます。しかし序数的効用を前提としている私たちはこうした議論が無意味であることをよく知っています。序数の差など一切無意味なのです。

今まではＸ財の増加を考えてきましたが、今度はＹ財の増加を考えてみましょう。

先ほど計算しましたように、

（８，４０）＝99744でした。今度はＸ財はそのままでＹ財を1単位ずつ追加していきますと、

（８，４１）＝101839

（８，４２）＝103924

（８，４３）＝105999

（８，４４）＝108064

というように、効用は2095，2085，2075，2065ずつ増えますが、その増加の程度は１０ずつ減少しています。

次にＸ財を8単位から２０単位に変えて、Ｙ財を１単位ずつ追加していきます。

（２０，４０）からスタートです。

（２０，４０）＝110400

（２０，４１）＝112495

（２０，４２）＝114580

（２０，４３）＝116655

（２０，４４）＝118720

というように、効用は2095，2085，2075，2065ずつ増えますが、その増加の程度は前と同じく１０ずつ減少しています。これらの結果はＸ財が8単位でも、２０単位でも関係なく生じるわけですが、これを見て、独立財であるとか、そうでないとか論争するのは馬鹿げています。勿論Ｙ財の限界効用の逓減速度が１０であるなどというような議論も同じく馬鹿げています。

私たちは限界効用なる概念が序数の差であり、無意味であるということを知っています。

今までは数値例

＝（，）＝1000＋2500−（8＋10）

でお話をしてきました。

なおＸ財単位、Ｙ財単位の組み合わせ（，）から、Ｙ財については、そのままにしておき、Ｘ財だけをさらに1単位追加したときの組み合わせ（＋１，）に移ることによって増加する総効用、つまり効用指標を、位置（，）におけるＸ財の限界効用と定義してきました。考え方としてはそれでよいのですが、厳密に言いますと、極限の概念が入りますので、正確ではありません。

（つまりこれは坂道の勾配について、話をしている時に、階段の勾配について話をしているようなことなのです。同じ道なら坂道でも、階段でも、一段の奥行きが充分小さいなら、どちらでもたいした違いはありません。実際一段の奥行きが０に限りなく近づくと階段と坂道は同じものになってしまいます）

それ故今後Ｘ財の或る位置（，）における限界効用を（，）というように偏導関数で表記することとさせていただきます。
Ｙ財の同じ位置における限界効用も同様に、（，）と表記させていただきます。
言葉でお話する時は今まで通りで進めます。

難しそうとお思いの方もいらっしゃるかもしれませんが、このほうがやさしいのです。と言いますのは

＝（，）＝1000＋2500−（8＋10） .......�B において

あらゆる位置において、その位置よりＸ財のみを1単位だけを追加することによって増加する効用、つまり（，）におけるＸ財の限界効用を表記する（，）は簡単な公式計算をするだけで

（，）＝1000−８ となることがわかっております。

先のように、例えばＸ財３０単位、Ｙ財５０単位の組み合わせにおけるＸ財の限界効用は

（３０，５０）と（３０＋１，５０）つまり、（３１，５０）の差として定義されているだけですと、2個所の効用指標を計算し、その差を求める必要があったのですが、そんな手間は必要なくなりました。
（，）＝1000−８ において、両辺の，それぞれに３０，５０を代入すれば出来上がりです。
（３０，５０）＝1000−８３０＝1000−240＝760

と言った按配です。

上式をご覧になれば、お分かりのように、この数値例ではＸ財の限界効用は、どの位置においてもの値とは無関係にの値だけで決まります。またが1単位追加されるたびに８ずつ減少します。これは前に実際に計算してお見せした通りです。
こうしたことは何度もお話したように限界効用が序数の差であるのですから全く無意味なのです。

同じようにあらゆる位置において、その位置よりＹ財のみを1単位だけを追加することによって増加する効用、つまり（，）におけるＹ財の限界効用を表記する（，）は簡単な公式計算をするだけで（，）＝2500−10となることがわかっております。

ご覧になれば、お分かりのように、Ｙ財の限界効用は、どの位置においてもの値とは無関係にの値だけで決まります。またが1単位追加される毎に１０ずつ減少します。これも前に実際に計算してお見せした通りです。しかし限界効用の値というのは序数の差なのですから何の意味も無いのです。

これは上の数値例の式と同義の、言わば、望遠鏡を引き上げた式を同時に検討することで、明確にご理解いただけるものと思います。

望遠鏡を引き上げた式は下の通りでした。

（）＝＝（，）＝1000＋2500−（8＋10）......�C

この式において、あらゆる位置において、その位置よりＸ財のみを1単位だけを追加することによって増加する効用、つまり（，）におけるＸ財の限界効用を表記する（，）は簡単な公式計算をするだけで

（，）＝２（1000−８）｛1000＋2500−（8＋10）｝......�D

であると分かります。Ｘ財、Ｙ財のあらゆる組み合わせにおけるＸ財の限界効用はこの式に任意の，を代入することによって求められます。

同じようにあらゆる位置において、その位置よりＹ財のみを1単位だけを追加することによって増加する効用、つまり（，）におけるＹ財の限界効用を表記する（，）は簡単な公式計算をするだけで

（，）＝２（2500−10）｛1000＋2500−（8＋10）｝......�E

であると分かります。

今回の効用関数 �C は先の数値例の効用関数 �B の2乗になっているのですが、両者は全く同義で無差別なのは今さら、ご説明させていただくまでもないでしょう。

先の効用関数 �B においてＸ財やＹ財の限界効用が独立財のようになっていたことや、各々一定の大きさで減少していたことが、何の意味も無いことが、今回の効用関数の限界効用の式�D、�E をご覧になることではっきりご理解いただけたと思います。
序数の差などというのは定義によって最初から無意味なのです。この小文の初めから今まで、私は序数の差は無意味であると言うこと以外なにも言っておりません。

ところで平面の或る位置、例えば（，）における無差別曲線の傾きは、単位のＸ財と単位のＹ財を消費することによって或る満足を得られる消費者が、Ｘ財、Ｙ財のこの組み合わせからＸ財1単位を手放し、その代わりとして何単位のＹ財を入手すれば最初の状態と満足の度合いが変わらないかということを示しています。

例えば（，）における無差別曲線の傾きが−３であるとすれば、これは単位のＸ財と単位のＹ財を消費している消費者にとって、Ｘ財1単位を手放しても、その代わりとしてＹ財3単位を入手すれば、最初の状態と満足の度合いが変わらないということを示しているのですが、これは勿論この消費者にとって、Ｘ財1単位を手放すことによって失う効用は、Ｙ財3単位を入手することによって得られる効用に等しい、つまり（，）におけるＸの限界効用は（，）におけるＹの限界効用の3倍であるというのと同義なのです。（これは極限の概念を使用しての話なのですが）

序数的効用関数について議論しているわけですから、（，）におけるＸの限界効用の値が200だとか15であるなどということは無意味です。（，）におけるＸの限界効用が15であるとすれば、（，）におけるＹの限界効用は5でなければならないということを言っているのです。

前者と後者の比率だけを問題としているのです。つまり前者の後者を「モノサシ」としての大きさが３であると言っているのです。

このように無差別曲線の各位置における傾きは、｢その位置におけるＸの限界効用とＹの限界効用の比率｣とウラオモテの関係にあるのですが、この関係は先に何度もお話しましたように、限界効用が序数の差であり無意味なものとしましても無差別曲線の定義として必ず成立しています。

Ｘ財やＹ財などというような話ばかりをしていますと、集中力が欠けて良くご理解していただけないかもしれません。それ故もう少し理解しやすいと思われる例を使って、ご説明しましょう。

若いおメカケさんを２０人、年増のおメカケさんを３０人、持っている王様がいるとしましょう。

この王様が、この状態の時の効用水準が何であるかにかかわらず、この状態から若いおメカケさんを１人手放し、その代わりに年増のおメカケさんを２人手に入れることによって満足の度合いが変わらないなら
．．．．これは当然若いおメカケさん２０人、年増のおメカケさん３０人、という組み合わせを示す位置での無差別曲線の傾きについて述べているのと同義です．．．．若いおメカケさんをＸ，年増のおメカケさんをＹとすればこの位置での無差別曲線の傾きは−２であると言っているのですが、われわれは若いおメカケさんを手放すことによって失う限界効用は、１００か１０００か全くわからなくとも、これは年増のおメカケさん２人を入手することによって得られる効用に等しいから、年増のおメカケさんの限界効用の２倍でなければならないと言っているのです。

前者を１００とすれば後者は５０であり、前者を２０００とすれば後者は１０００でなければなりません。
この関係は限界効用が序数の差であり、無意味であるとしても、無差別曲線の定義として必ず成立しなければなりません。

効用は測定不可能ですし、序数としてしか意味を持たないのですから、勿論若いおメカケさんの限界効用が１００だと言っても無意味であり、１００だとすれば、年増のおメカケさんの限界効用は５０だということしか言えません。
つまり若いおメカケさん２０人、年増のおメカケさん３０人、という組み合わせを示す位置における、若いおメカケさんの限界効用と年増のおメカケさんの限界効用の比率だけしか意味を持ちません。

”この時われわれは年増のおメカケさんの限界効用を「モノサシ」として測った若いおメカケさんの限界効用の大きさは２だと言っているわけです。”

若いおメカケさんの限界効用というのは年増のおメカケさんがいなければ、何の意味もないのです。つまり年増のおメカケさんとは、独立ではありえないのです。
勿論ここでの例は正確ではありません。正しくは極限の概念を使わなくてはなりません。

しかしこれで多分或る位置における無差別曲線の傾きとその位置におけるＸ財の限界効用とＹ財の限界効用の比率がウラオモテの関係にあるのをご理解いただけたことと思います。

なお私はおメカケさんのような制度、風習に賛成したり、女性を蔑視したりする者ではありませんし、年配の女性が若い女性より魅力がないというつもりも毛頭ございません。ただ限界効用を自分の頭の中で考えていただきたいと思って書いたまでなのです。誤解を受けやすい例をあえて使用しましたのも、こうした情熱からなのです。この点充分お含みおきください。

以上の議論は全く同義で、無差別な２つの効用関数�B，�Cについて実際にこの関係を例示して見ますと一目瞭然です。

，の、どの組み合わせ、つまり平面の、どの位置におけるＸ財の限界効用もＹ財の限界効用も、適当な，を上式に代入することによって、それぞれ分子、分母の値として、簡単に計算できますが、これらの数値は当然無意味です。
ところで両者の比率にマイナスをつけた値がその位置での無差別曲線の傾きとなっています。
上の二式において、この比率がどの位置においても同じになっていますのは、今更ご説明するまでもありませんよね。
先に（，）における無差別曲線の傾きが−３であるとすれば、などという言い方をしましたが、実際はこの数値例のように無差別曲線の傾きを初めから知っているわけではありません。

効用関数�@，�Aで言いますとこの関係は次のようになっています。

しかし前にお話しましたように、消費者が序数的効用関数を持ち、効用極大化行動をとるものとすれば、実際に期に観察されたＸ財、Ｙ財の組み合わせ（、）は期における所得制約式の中で、最も高い効用指標を持つ組み合わせであり、この組み合わせを表す点で無差別曲線は所得線と接するわけですから、無差別曲線のこの点における傾きは所得線の傾きに等しくなっているはずです。

効用関数�@，�Aで表される無差別曲線、つまり選好の序列が実際に存在するなら、この関係は次の二式で示されます。








一見して明らかなように、この式は約分されて、式と同じになってしまいます。つまり私たちは式しか観測できません。ですから消費者が�@式や�@式の単調増加関数、ここでは�A式によって表される選好の序列を実際に持つなら、式が観測されるはずです。

実際に過去のデータの間になる関係が観測されて、パラメター、、、の値が分かったものとしましょう。すると私たちは�@や�@の単調増加函数によって表される不変の選好の序列があるものと考えて差しつかえないことになります。

、、、の値が分かったわけですから、今期のデータとして実際に観測されたを式に代入してみましょう。

すると例えば左辺の分子は１００、分母は１０と計算されたとしましょう。
この時Ｘ財を単位購入した時のＸ財の限界効用は１００であるとか、Ｙ財を単位購入した時の限界効用は１０であるなどと言っても意味が無いし、Ｘ財の限界効用の逓減速度がいくらであるなどというようなことを言ってもナンセンスです。
何度もお話しましたように（，）におけるＸ財の限界効用と（，）におけるＹ財の限界効用の「比」は１００対１０であると、つまり１０対１であるということなのです。
別の言い方をしますと、（，）におけるＸ財の限界効用の（，）におけるＹ財の限界効用を「モノサシ」とした大きさは１０であるということなのです。
選好の序列を表す�@式が妥当ならば今期の相対価格は１０であるはずです。

ところで今期の相対価格が１０でなかったなら、どうでしょうか。
ここでの効用関数を前提とする限り選好場（無差別曲線群）が変位、もしくは変形したとの結論を下さざるをえません。
勿論ここで選好場変位、もしくは変形をシステマティックに導入することが出来ないのなら、消費者が序数的効用関数を持つとか、効用極大化行動をとるとかいうことでさえ無意味なこととなってしまいます。

それでは今期の相対価格が１０ではなく。例えば８であったとしましょう。この時私たちは（，）におけるＸ財の限界効用と（，）におけるＹ財の限界効用の比が、前期から今期にかけて１０対１から８対１に変わったと言っているわけです。
それでは（，）におけるＸ財の限界効用が小さくなったのでしょうか。
それとも（，）におけるＹ財の限界効用が大きくなったのでしょうか。あるいは前者は大きくなったけれどもそれ以上に後者が大きくなったのでしょうか。ひょっとして後者は小さくなったけれどもそれ以上に前者が小さくなったのでしょうか。

この設問に答える前に、宇宙空間に一人の男（別に女でもいいですよ）と一つの物体だけしか存在せず、そして前者と後者の比が１０対１であるような状況を考えてみることにしましょう。次にこの比が８対１に変わったとしましょう。

この時この男が（または、この女が）「自分自身が小さくなったのか、または物体の方が大きくなったのか、あるいは自分は大きくなったのだけれどもそれ以上に物体の方が大きくなったのか、あるいは物体は小さくなったのだけれどもそれ以上に自分が小さくなったのか」のいづれが起こったのかを自問してみたとしましょう。

勿論彼（彼女）はこれに答えることはできません。
というより、この設問自体が無意味なのであって、これに答えるためにはもう一つ別の物体が存在しなければなりません。
（言うまでもないことですが、この時でさえ絶対的な大きさの変化についていうのは無意味です。３番目の物体を「モノサシ」として、自分と初めの物体の大きさを、比率変化の起こる前と後でそれぞれ測ることができてはじめて自分が小さくなったのか、あるいはその他の可能性のいづれが起こったのかに答えることができるのです。「モノサシ」との比率だけについて言えるのであり、「モノサシ」が大きさを変えたかどうかなどというのは無意味なのです）

先のおメカケさんの例でも、例えば若いおメカケさんと年増のおメカケさんの限界効用の比率が2対１から３対１に変わったとすれば、相対的に若いおメカケさんの値打ちが上がったということしか言えません。相対的に年増のおメカケさんの値打ちが下がったと言っても同じです。
辻村の著書では限界効用が、相対的に食い合いをするなどと書いているのですから、お笑いです。

フランスの数学者、科学者であるアンリ・ポアンカレ（１８５４−１９１２）は彼の「科学と方法」の「緒言」で次のように述べています。


「空間の相対的であることは何人も知るところ、というよりもむしろ何人も口にするところであるが、しかも実際にはあたかも空間を絶対的と信じているかのような考え方をしている人々の如何ばかり多いことであろう・・・・。」

経済学でも同じことが言えます。「空間」を「限界効用」で置き換えてみますと次のようになります。

「限界効用の相対的であることは何人も知るところ、というよりもむしろ何人も口にするところであるが、しかも実際にはあたかも限界効用を絶対的と信じているかのような考え方をしている人々の如何ばかり多いことであろう・・・・。」

ポアンカレは絶対的な大きさなどは存在しないと言っているのです。彼は第二篇「数学的推理」の第一章「空間の相対性」において次のように言っています。

誰にてもあれ絶対的空間について語るものがあればそれは意味なき言を弄するものである。
これはこの問題を反省したほどのすべての人によって以前からいい古された真理であるが吾々は これを あまりにも忘れ勝ちである。
わたくしが巴里の一点、たとえばパンテオンの広場に立って「明日またここに来よう」という。人あって「空間の同一点に帰って来るという意か」と問うならば、ややもすれば わたくしは「しかり」と答えようとするであろう。
さりながら わたくしの答えは誤っている。この地球は明日までにパンテオンの広場を伴ったまま進行して 広場は二百萬粁以上を走っていることになるからである。
また わたくしが言葉を精密にしようとつとめても得るところは何もない。この二百萬粁は 地球が太陽に対する運動に於いて走った距離であって太陽はまた 銀河に対して位置を換え、さらにその銀河自身もその速度は吾々に知られぬながら運動していることは 疑いないからである。
かくて一日にパンテオンの広場がどれだけの距離を変位するかは吾々はまったく知るを得ない。また永遠に知る由もないであろう。
畢意わたくしのいおうとしたことは「明日わたくしはパンテオンの圓屋根と破風とをふたたび見るであろう」というに帰する。
パンテオンがなければ わたくしの言句は何等の意味もなく空間は消え失せてしまうことになるであろう。

これが空間の相対性の原理のもっとも通俗な形の一つであるがデルブフが特に力説した形がさらに一つある。
すなわち一夜のうちに宇宙のすべての大いさが一千倍に増大したと想像してみよう。世界はそれ自身に相似のままで（ただしここに相似とはユークリッド幾何学第三巻におけると同じ意味である）、ただいままで一米の長さであったものが一粁になり、一粍であったものが一米の長さになるに過ぎないものとする。
わたくしの臥している寝臺もわたくしの身體さえも同じ割合に増大しているのであるが、翌朝わたくしが目醒めたとき、かくも驚くべき変化に当面してわたくしは如何なる感を経験するであろうか。安んぜよわたくしは 何事もさらに認めないであろう。
この大変転は如何に正確に測ればとてその一端をも暴露することはできない。わたくしの用いる尺度が測ろうとする物體とまったく同じ割合に変化しているからである。
実はかかる変転は空間があたかも絶対的なるかの如く論ずる人々以外には存在しないのである。
わたくしがしばらく彼等と同じ論じ方をしたのは、とりもなおさず彼等の見方に矛盾が含まれていることを一層明らかにするためにほかならない。
実は空間は相対的であるから何事も起こりはしなかった。吾々の何事も認めなかったのはその故であるという方が正当であろう・・・・。
ポアンカレは形が相似でない場合も同様であることを示し、全く当り前のことではあるが、次のように結論している。

”いずれの場合においても絶対的の大いさは問題であり得ない。何か道具を用いて大いさを測ることが問題である。この道具は尺度でもよい。また光の経過した道程であってもよい。
吾々の測るのはその大いさの道具に対する比に過ぎない。
もしこの比が変じたならば、変化したのは大いさであるか、はた道具であるか吾々は これを知るべき何等の手段をももたないのである”


宇宙空間に只一つの物体しか存在しない時、その物体の大きさが無意味なのは言うまでもないことです。（この物体とは観察者である自分のことになるのでしょうか。）
また、二つの物体があっても、それぞれの大きさについて言うのも無意味です。片方の物体を物差しにした、もう片方の物体の大きさしか無意味なわけです。相対比しか意味を持ちません。この比が変わったなら、変わったとしか言えないわけです。

ところで�@式や�@式の単調増加関数によって表される固定した選好場では、現実の資料を説明できない時、つまり式の左辺によって示される限界効用の比率が変わったと考えざるをえない時、辻村江太郎がなしたのは式を次の式に変形することでした。
そしてこの式こそが彼の「習慣形成仮説」の定式化なのです。



但しここではＸ財、Ｙ財の過去の購入量の総和、つまり「物的」保有量です。

たしかに式において、つまり



において、左辺を平面の各位置におけるＸ財の限界効用とＹ財の限界効用の比率というように正しく解釈すれば、この式は間違ってもいないし、独立財であると批判されるいわれもありません。

しかし辻村は、この分子、分母をそれぞれＸ財、Ｙ財の限界効用曲線、などと馬鹿な解釈をし、「各財の限界効用曲線はそれぞれの財の「物的」保有量の増加などによって変位する」などという説明をしています。経済学の基礎の基礎もわかっていないのです。
式、つまり



の左辺の後の項は定数ではないのです。

辻村の「習慣形成仮説」つまりが辻村が言うような意味をつけられるのは

のように効用関数�@を一次変換（線形変換ともいいます）した効用関数において、効用指標を基数的に解釈した時だけなのです。ただしＡ，Ｂは定数です。
それゆえ辻村の「習慣形成仮説」なるものは、初歩的な経済理論の無理解より生じたものであり、０点なのです。
より正確に言いますと、経済理論の無理解ではなくて、序数の定義の無理解より生じた間違いなのです。
初めから仮説たりえないわけです。
もともと世に出てはいけないはずのものだったのです。

この指摘にかんして、辻村が近著「はじめての経済学」（岩波）の表紙のすぐ裏に、実証経済学の盟友として、名前を掲げた「小尾恵一郎」教授（当時）の反論をご紹介しておきましょう。

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