定義(ヒルベルト空間) 内積空間Ｘがその内積から定義されたノルムに関して完備であるとき，Ｘはヒルベルト空間(Hilbert space)であるという．ヒルベルト空間の系数体がＲであるとき実ヒルベルト空間，Ｃの場合は複素ヒルベルト空間といわれる．

定義(ヒルベルト空間の同形) Ｘ,Ｙをヒルベルト空間として，ＸからＹの上への線形作用素Ｔについて， がすべての x,y∈Ｘ について成り立つとき，Ｘ,Ｙは同形(isomorphic)である，という．また，このような作用素Ｔをユニタリ作用素(unitary operator)という．また，上の内積保存の性質から， となり，Ｘ,Ｙの等長性といわれる性質が得られる．

無限個の複素数の組 ｘ＝(x₁，x₂，･･･，x_n，･･･) について条件 を満たすものの全体を l² で表す．以下に，この l² の性質を調べていく．

命題(スカラー倍) ｘl²，ｘ＝(x₁，x₂，･･･，x_n，･･･) とする．このとき，複素数ｃに対してｘのｃ倍 cｘ を で定義する．このとき，cxl² である．

証明 実際，次の式が成立する よって示された．

命題(和) ｘ,ｙl²，ｘ＝(x₁，x₂，...，x_n，...)，ｙ＝(y₁，y₂，...，y_n，...) とする．このとき，ｘとｙの和 x＋y を で定義する．このとき，x＋yl² である．このことから，l² が線形空間であることがわかる．

証明 実際，中線定理から，

|xn＋yn|2	＝2(|xn|2＋|yn|2)−|xn−yn|
	≦2(|xn|2＋|yn|2)

が成り立ち，従って となる．よって示された．

命題(内積) ｘ,ｙl²，ｘ＝(x₁，x₂，･･･，x_n，･･･)，ｙ＝(y₁，y₂，･･･，y_n，･･･) とする．このとき，ｘとｙの積(x,y)を

(1)

によって定めると，これは内積の性質を満たす．このことから，l² が内積空間であることがわかる．