定義(Ｌ^p空間) 測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が を満たすとき f(x) はＬ^p(Ω)に入るという．ただし，1≦p＜+∞ である．また，一般にｆ∈Ｌ^p(Ω) のノルムは と定義される．

定義(本質的有界) 測度空間Ｘ上の可測関数ｆに対し，あるｒ∈Ｒが存在して となるとき，ｆは本質的に有界(essentially bounded)であるという．

定義(Ｌ^∞) 本質的に有界な関数の全体をＬ^∞と表す．このとき，ｆ∈Ｌ^∞ノルムは

　　　‖f‖_Ｌ^∞＝ess･sup|f|

と定義される．

定理(ヘルダーの不等式) 　1＜p＜∞ とする．q を q^-1＝1−p^-1 によって定まる数であるとすると， が成り立つ．これをヘルダーの不等式(Hoelder's inequality)という．

証明 まず，任意の a,b≧0 に対して， が成り立つ．(証明は下に記す)また，‖u‖_L^p＝0 または ‖v‖_L^q＝0 のときは uv＝0 より自明である．次に上の不等式において a＝|u(y)|/‖u‖_L^p , b＝|v(y)|/‖v‖_L^q とおくと． となり示される

命題(ヤングの不等式) a,b≧0 ，1＜p＜∞ ，p^-1＋q^-1＝1 としたとき，初等的な不等式

　　　ab≦p^-1a^p＋q^-1b^q

が成り立つ．これをヤングの不等式(Young's inequality)という．

証明 φ(a)＝p^-1a^p＋q^-1b^q−ab とすると，a＝b^1/(p-1)のとき φ'(a)＝0 となり，φ(b^1/(p-1))＝0 となるので φ(a)≧0 となる．また，等号は a^p＝b^q のとき成り立ち，そのときに限る．

定理(ミンコフスキーの不等式) u,v∈Ｌ^p(Ω) のとき，u＋v∈Ｌ^p となり，さらに，1≦p≦∞ として

　　　

が成り立つ．この不等式をミンコフスキーの不等式(Minkowski inequality)という．

証明 まず，p=1 のときは命題は明らかに成立する．よって p＞1 として考える．初等的な不等式

　　　

をもちいて，

　　　|u(x)＋v(x)|^p≦ 2^p-1(|u(x)|^p＋|v(x)|^p)

が得られる．よって， u＋v∈Ｌ^p(Ω) であることがわかる．さらに，

　　　

が成り立つ．ここで，右辺の各項にヘルダーの不等式を用いると

　　　

が得られる．ここから，ただちに命題の不等式が示される．