定義(分割行列，ブロック) 行列Ａを何本かの縦線と横線で分割すると，Ａはいくつかの小さい行列に分割される．このようにして得られる各行列をＡのブロック(block)または小行列といい，分割を施された行列を分割行列という．

例 分割行列Ａを とする．小行列 Ａ₁₁，Ａ₁₂，Ａ₂₁，Ａ₂₂ を としたとき，これらはＡのブロックで， と表す．これを，Ａの分割表示という．

定義(分割の型) 一般に，(m,n)行列Ａを p−1 個の横線と，q−1 個の縦線で，pq 個のブロックに分割したとき，上からｉ番目，左からｊ番目のブロックをＡの (i,j) ブロックとよぶ．このとき，ブロックＡ_i1, ... , Ａ_iq はすべて，行の数が同じで，ブロック Ａ_1j, ... ,Ａ_pj は，すべて列の数が同じである．Ａの (i,j) ブロックが (m_i,n_j)行列であるとき，自然数の組 を，Ａの分割の型という．明らかに，m₁＋・・・＋m_p＝m，n₁＋・・・＋n_q＝n，である．

命題(分割行列の積) 分割の型が (l₁, ... , l_p; m₁, ... m_q) である (l,m)型の行列Ａと 分割の型が (m₁, ... , m_q; n₁, ... n_r) である (m,n)型の行列Ｂについて (i,j)ブロックを，それぞれ Ａ_ij，Ｂ_ij と書く．このとき，積ＡＢは (l₁, ... , l_p; n₁, ..., n_r)型に分割したとき，その(i,k)ブロック(ＡＢ)_ik は である．

このことから，分割行列の積は，各ブロックを行列の成分であるかのように対応させて考えると，行列どうしの積と同じように計算できる．

証明？ (ＡＢ)_ik を成分で書き下したとき，どんな式になるか，頑張って考えましょう．右辺も同様に頑張りましょう．同じになるはずです．無理そうだったら，線形代数の本で調べましょう．

定義(対称分割) 行列Ａをｎ次正方行列とする．このとき，Ａの (n₁, ... , n_p; n₁, ... n_p) 型の分割を，(n₁, ... , n_p) 型の対称分割という．ここで，Ａ₁₁，...，Ａ_pp を対角ブロックといい，対角ブロック以外のブロックを非対角ブロックという．

定義(ブロック対角行列) 対称に分割されたｎ次正方行列Ａについて，非対角ブロックがすべて零行列であるとき，Ａをブロック対角行列という．