複素関数
■ 初等関数
複素関数論では最初に覚えておくべき公式として，以下のオイラーの公式がある
定義
(
オイラーの公式
) ｘを実数として，
ｉ
を虚数単位(
ｉ
2
＝−1)とすると，指数関数は
ｅ
ix
＝cosｘ＋
i
sinｘ
と定義できる．これを
オイラーの公式
という．
命題
z
1
＝r
1
(cosθ
1
＋ｉsinθ
1
)，z
2
＝r
2
(cosθ
2
＋ｉsinθ
2
) としたとき，
となる．
証明
ぞれぞれ極形式に置き換えて計算すれば直ちに導かれる．
この命題の結果から，次の定理が得られる
定理
(
ド・モアブルの定理
) z＝r(cosθ＋isinθ) とすると，次の公式が成り立つ．
z
n
＝
r
n
(cos
nθ ＋
ｉ
sin
nθ) (ｎは整数)
これを
ド・モアブルの定理
(de Moivre)という．
証明
上の命題の最初の式を繰り返し用いればよい．
■ ｎ乗根
定義
(
ｎ乗根
) 複素数ｚに対して，
ω
n
＝ｚ
となる複素数ωをｚのｎ乗根という．
命題
一般に複素数ｚはｎ個のｎ乗根をもつ．
証明
ω，ｚを複素数として，ω＝ρ(cosφ＋ｉsinφ) は z＝r(cosθ＋ｉsinθ) のｎ乗根であるとする．このとき極形式を用いて，
ρ
n
(cos nφ＋ｉsin nφ)＝r(cosθ＋ｉsinθ)
であるので，
(1) ρ
n
＝ｒ
(2) nφ＝θ＋2ｍπ
となる．さて，(1)から，
ρ＝r
1/n
が得られる．次に，(2)から，偏角の主値に注意して，
が得られる．よって示された．
定義
(
複素関数
) 複素変数 z＝x＋iy に対して複素数 w＝u＋iv を対応させるものとして
複素関数
(complex function)
w＝u＋iv＝f(x)
が定義される．
＝