定義(複素数) x,y を実数，i を虚数単位(imaginary unit)(i²＝−1)とする．このとき， で表される数 z を複素数(complex numbers)という．さらに，x を z の実部(real part)， y を z の虚部(imaginary part)といい，それぞれ Re(z)，Im(z) などと書く． のとき，z は実数 Re(z) と同じものであるとみなし， のとき，z は純虚数(purely imaginary number)という．また実数以外複素数を単に虚数(imaginary number)という．また複素数全体の集合をＣで表す．

定義(絶対値) ｚ＝x＋iy に対して， を複素数ｚの絶対値(modulus of a complex number)という．

定義(複素共役) ｚ＝x＋iy に対して，z^*＝x−iy をｚの共役複素数(conjugate complex number)，または複素共役(complex conjugate)という．

命題 複素数ｚに対してその複素共役をｚ^*であらわす．上の定義から，共役複素数について次の式が成り立つ．

(1)	z＋z*＝２Re(z) ,　z−z*＝2iIm(z)
(2)	(z*)*＝ｚ
(3)	|z|＝|z*| ,　z・z*＝|z|2
(4)	(z1±z2)*＝z1*±z2*
(5)	(z1z2)*＝z1＊z2＊
(6)
(7)	|z1z2|＝|z1||z1|
(8)
(9)	||z1|−|z2||≦|z1±z2|≦|z1|＋|z2|　(三角不等式)

証明 定義から z＝x＋iy などとおいて実際に計算すれば簡単に導出できる．

命題 ２つの複素数α，βに対して不等式 が成り立つ．

証明 |αβ|＝|α|･|β| なので相加平均・相乗平均の公式そのものである．