定義(複素平面) 複素数 z＝x＋iy は xRe(z) を２次元平面上の点 (x,y) に対応させることができる．この平面を複素平面(complex plane)またはガウス平面(Gaussian plane)といい，横軸(ｘ軸)を実軸(real axis)，縦軸(ｙ軸)を虚軸(imaginary axis)という．

定義(複素平面上の距離) 複素平面上の２点 z₁＝x₁＋iy₁, z₂＝x₂＋iy₂ の距離はその幾何学的な意味からも明らかであるように一般に と定義される．

命題 複素平面上の直線は の形で表される．

証明 ｚ＝x＋iy (x,yＲ) とする．このとき より， である．ただし，a,b はともに0でない実数である．(a＋ib)/2＝α とおけば命題の主張が示される．

定義(極形式) 複素平面上の点(x,y)を表すために，極座標を用いて とすると， と表される．これを複素数ｚの極形式(polar form)という．このとき，明らかに である．また，θは複素数 z の偏角(argument)または位相(phase)といわれ，しばしば arg(z) などど書かれる．ただし，z＝0 のときは定義しないで，r＝0 と考える．また r＞0 のとき，極形式では (r,θ＋2ｎπ)　(n＝0,1,2,･･･) は同じｚに対応する．そこで，ｚの偏角のうち，−π＜arg(z)≦π または 0＜arg(z)≦2π を満たすものを偏角の主値(principal value)といい，Arg(z) とかく．