固有値，固有ベクトル
■ 固有値
Ｋ上の線形空間Ｖの中の線形変換Ａについて，方程式
(1) Ａ(x)＝λx , (x
Ｖ)
を満たすような λ
Ｋ とベクトル x(≠0) が存在するとき，λを写像Ａの
固有値
(eigenvalue)といい，ベクトル
x
をλに属する
固有ベクトル
(eigenvector)という．ｘがλに属する固有ベクトルであれば，
Ａ(cx)＝cＡ(x)＝λcx (c≠0)
となり，cx もλに属する固有ベクトルであることがわかる．ここでは特にＡが行列の場合を中心に考える．(1)式を変形すると
(Ａ−λI)(x)＝
0
となるが，この式で (Ａ−λI)
-1
が存在したとすると，両辺にかけたときに x＝0 となってしまい，仮定に反する．λがＡの固有値であるためには Ker(Ａ−λI)≠{0} である必要があり，またそのときに限る．
定義
(
固有空間
) Ｋ
n
Ａ：Ｋ
n
→Ｋ
n
，λ
Ｋ に対し，
Ｅ(λ)＝{x
Ｋ
n
|Ａ(x)＝λx}
とすると，Ｅ(λ) は Ｋ
n
の部分空間となり，固有値λに対する
固有空間
(eigenspace)という
定義
(
固有多項式
) 行列Ａと定数λ，ベクトルｘ(≠0)について，
φ
A
(λ)＝|λI−Ａ|
を
固有多項式
または
特性多項式
(characteristic polynomial)という．λがＡの固有値であるための必要十分条件は
φ
A
(λ)＝
0
であり，この式を
固有方程式
または
特性方程式
(characteristic equation)という．
定理
ＶをＫ上の線形空間，ＴをＶの線形変換とする．Ｔの異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立である．
証明
β
1
,β
2
,･･･,β
k
を互いに相異なる固有値として，x
1
, x
2
,･･･,x
k
をそれに対応する固有ベクトルとする．いま，
x
1
,x
2
,･･･,x
k
が線形従属であるとすると，
x
1
,x
2
, ･･･,x
i-1
は線形独立であるが，x
1
,x
2
,･･･,x
i
は線形従属であるような
i (2≦i≦k)
が存在する．このとき，x
i
は
x
1
,x
2
,･･･,x
i-1
の線形結合として
x
i
＝c
1
x
1
＋c
2
x
2
＋･･･＋c
i-1
x
i-1
と表される．この両辺にＴを作用させると，
Ｔx
i
＝β
i
x
i
＝c
1
β
i
x
1
＋c
2
β
i
x
2
＋・・・＋c
i−1
β
i
x
i−1
＝c
1
β
1
x
1
＋c
2
β
2
x
2
＋・・・＋c
i−1
β
i−1
x
i−1
となる．従って，
c
1
(β
1
−β
i
)x
1
＋c
2
(β
2
−β
i
)x
2
＋・・・＋c
i−1
(β
i−1
−β
i
)x
i−1
となる．仮定から x
1
, x
2
, ･･･ , x
i-1
は線形独立なので，
c
j
(β
j
−β
i
)＝
0 , j＝1,2,･･･,i−1
ここで，β
i
≠β
j
より，
c
j
＝
0 , j＝1,2,･･･,i−1
このとき，x
i
＝
0 となり，仮定に反する．
Ｖ)
Ｋ とベクトル x(≠0) が存在するとき，λを写像Ａの固有値(eigenvalue)といい，ベクトル x をλに属する固有ベクトル(eigenvector)という．ｘがλに属する固有ベクトルであれば，
00 0 , j＝1,2,･･･,i−10 , j＝1,2,･･･,i−10 となり，仮定に反する．