定義(不動点) 空間Ｘの中に定義域および値域をもつ写像Ｆについて を満足する x をＦの不動点(fixed point)という．

定義(縮小写像) ノルム空間Ｘの部分集合Ｘ₁およびＸ₂について，写像 Ｆ：Ｘ₁Ｘ₂ が を満たすとき，Ｆが縮小写像(contraction)であるという．このとき，ｒは x₁,x₂ によらないものとする．

定義 Ｓをバナッハ空間Ｘの中の空でない閉部分集合であるとする．このとき写像 Ｆ：Ｓ→Ｓ が縮小写像であれば，Ｓの中にＦの不動点がただ一つ存在する．

証明 （一意性）x,x' がともにＳの中の不動点であるとする．このとき，ある 0≦r≦1 に対して，

　　　‖x−x'‖＝‖Ｆx−Ｆx'‖≦ｒ‖x−x'‖

となり，条件より，

　　　‖x−x'‖＝0

である．従って x＝x' である．

（存在）まず，ある x₀∈Ｓ に対し，x_n(n＝1,2,･･･) を x_n＝Ｆx_n-1 とする．仮定より，{x_n}_n∈N はＳの中に存在し，

‖xn+1−xn‖	＝	‖Ｆxn−Ｆxn-1‖
	≦	r‖xn−xn-1‖
	≦	r2‖xn-1−xn-2‖
		・・・
	≦	rn‖x1−x0‖　　(n∈Ｎ)

となり，0≦r＜1 より，

　　　　

となり，絶対収束から

　　　　

が存在する．従って n→∞ としたとき，x＝Ｆx となる x が存在することがＦが連続であることからわかる．