逆行列

定義(逆行列) 正方行列Ａに対して

ＡＸ＝ＸＡ＝Ｅ (Ｅは単位行列)

を満たす正方行列ＸをＡの逆行列であるといい，しばしばＡ^-1 と表される．

定義逆行列が存在する行列を正則行列(regular matrix,non-singular matrix)といい，逆行列を持たない行列を特異行列(singular matrix)という．

命題正則行列Ａの逆行列が存在するとしても，ただ一つしか存在しない．

証明Ｘ，ＹがどちらもＡの逆行列であったとする．このとき，行列積の結合則から，

Ｘ＝ＸＥ＝Ｘ(ＡＹ)＝(ＸＡ)Ｙ＝ＥＹ＝Ｙ

となりＸ＝Ｙが得られる．

定理(逆行列の基本性質) 逆行列の基本性質として，次のものがある

(1)　ＡＡ^-1＝Ａ^-1Ａ＝Ｅ

(2)　(Ａ^-1)^-1＝Ａ

(3)　(ＡＢ)^-1＝Ｂ^-1Ａ^-1

(4)　(Ａ^T)^-1＝(Ａ^-1)^T

ただしＡ^T はＡの転置行列を表す．

証明 (1)，(2)はそれぞれ定義より明らかである．(3)については，

(Ｂ^-1Ａ^-1)(ＡＢ)＝Ｂ^-1(Ａ^-1Ａ)Ｂ＝Ｂ^-1Ｂ＝Ｅ

および，

(ＡＢ)(Ｂ^-1Ａ^-1)＝ＡＢ^-1Ｂ(Ａ^-1)＝Ａ^-1Ａ＝Ｅ

より示される．(4)は，

ＡＡ^-1＝Ａ^-1Ａ＝Ｅ

の転置をとると，

(ＡＡ^-1)^Ｔ＝(Ａ^-1Ａ)^Ｔ＝Ｅ^Ｔ

(Ａ^-1)^ＴＡ^Ｔ＝Ａ^Ｔ(Ａ^-1)^Ｔ＝Ｅ

となり得られる．

命題正則行列Ａ,Ｂが交換可能のとき，Ａ^-1Ｂ,ＡＢ^-1,Ａ^-1Ｂ^-1 はいずれも交換可能である．

証明ＢＡ^-1＝Ａ^-1(ＡＢ)Ａ^-1＝Ａ^-1(ＢＡ)Ａ^-1＝Ａ^-1Ｂとなり示され，他も全く同様である．

定義(ユニタリ行列) Ａ^＊Ａ＝Ｅ (Ｅ：単位行列)となるｎ次正方行列をユニタリ行列(unitary matrix)という．