逆作用素
定義
(
逆作用素
) Ｔを有界作用素としたとき，
ＴＳ＝ＳＴ＝Ｉ
となる作用素ＳをＴの
逆作用素
(inverse operator)という．
定理
(
逆作用素の存在
) Ｘ，Ｙを線形空間とし，ＴをＸの部分空間ＤからＹへの線形作用素とする．このとき，Ｔの逆作用素Ｔ
-1
が存在するための必要十分条件は
(1) Ｔx＝
0 ⇒ x＝
0
となることである．
証明
まず，Ｔ
-1
が存在したとすると明らかにＴは１対１である．また，x＝0 のとき Ｔx＝Ｔ0＝0 より，(1)が成り立つ．すなわち，必要性が示された．次に，(1)が成り立つとする．このとき，もし
Ｔx
1
＝Ｔx
2
とすると，Ｔは線形作用素なので，
Ｔ(x
1
−x
2
)＝Ｔx
1
−Ｔx
2
＝
0
となり，(x
1
−x
2
)＝0 である．すなわち x
1
＝x
2
である．これは，Ｔが１対１であることを表している．すなわち，Ｔ
-1
が存在する．
命題
Ｔ,Ｓをバナッハ空間Ｘの中の有界作用素であるとする．もしＴ,Ｓの逆作用素
Ｔ
-1
，Ｓ
-1
が存在すれば合成作用素
Ｔ・Ｓ
の逆作用素
(Ｔ・Ｓ)
-1
＝Ｓ
-1
・Ｔ
-1
が存在する．
証明
仮定から，
Ｔ・Ｓ(Ｓ
-1
・Ｔ
-1
)＝Ｔ・(Ｓ・Ｓ
-1
)・Ｔ
-1
＝Ｔ・Ｔ
-1
＝Ｉ
となり，全く同様に，
(Ｓ
-1
・Ｔ
-1
)・(Ｔ・Ｓ)＝Ｉ
となり，示される．
