線形微分方程式

定義(同次線形，非同次線形) ｎ個の未知関数 x₁，x₂，...，x_n に対して，

の形の方程式系は，右辺がx₁，x₂，...，x_n に対して線形であることから，b(t)＝0のときは同次線形(homogeneous linear)であるという（または斉次(homogeneous)であるという）．また，b(t)≠0 のときは非同次線形(inhomogeneous linear)であるという．

定義(同次線形，非同次線形) y, y', ... ,y⁽ⁿ⁾ についての常微分方程式

y⁽ⁿ⁾＋P₁(x)y^(n－1)＋・・・＋P_n－1(x)y＝Q(x)

をｎ階線形微分方程式(n-order linear ordinary differential equation)という．ここで，Q(x)＝0 のときは同次線形(homogeneous linear)であるという（または斉次(homogeneous)であるという）．また，Q(x)≠0 のときは非同次線形(inhomogeneous linear)であるという．

■ 定数変化法

　１階の同次形

y'＋P(x)y＝0

は変数分離形であり，一般解は

という形になる．非同次形の場合，すなわち

(1)　y'＋P(x)y＝Q(x)

となるときは，同次形の解におけるＣをｘの関数とみなすとなぜか解を見つけることができる．すなわち，

として，上の(1)式に代入すると，

が得られる．従って

となり，y の一般解が得られる．このような解法を定数変化法(method of variation of constants)という．

線形微分方程式

■ 線形

■ 定数変化法