線形作用素
定義(
作用素)
空間Ｘ，Ｙについて，Ｘの各点ｘに対してただ一つのＹの点ｙへの対応させる規則を
作用素(operator)といい，ＸからＹへの作用素をＴとしたとき
Ｔ：Ｘ→Ｙ , ｙ＝Ｔx
などと表す．
定義(定義域，値域)
空間Ｘの部分集合Ａの元ｘに空間Ｙの元 Ｔx を対応させる写像ＴをＡからＹへの作用素といい，Ｔ：Ａ→Ｙ で表す．またこの場合，Ａを作用素Ｔの定義域(domain)，{Ｔx；x∈Ｘ} を値域(renge)といい，それぞれ Ｄ(Ｔ)，Ｒ(Ｔ) などと表す．
定義(
線形作用素)
線形空間Ｘの線形部分空間Ｘ
0から線形空間Ｙへ作用素Ｔについて，線形性
(1) Ｔ(x1＋x2)＝Ｔx1＋Ｔx2 (x1,x2∈Ｄ(Ｔ))
(2) Ｔ(αx)＝αＴx ， α∈Ｋ
が満たされるときＴは
線形作用素(linear operator)である，という．
命題
ＴがＸ0からＹへの線形作用素のとき Ｒ(Ｔ) は Ｙ の線形部分空間となる．
証明
y
1,y
2∈Ｒ(Ｔ) に対して Ｔ(x
1)＝y
1 , Ｔ(x
2)＝y
2 となる
x1,x2∈Ｘ0 が存在する．Ｔは線形作用素であることから，
(1) y1＋y2＝Ｔx1＋Ｔx2＝(x1＋x2)∈Ｒ(Ｔ)
となり，さらに α∈Ｋ に対して，
(2) αy1＝αＴx1＝Ｔ(αx1)∈Ｒ(Ｔ)
となる．従って(1), (2)より，Ｒ(Ｔ)はＹの線形部分空間である．
定義(
有界性)
線形空間Ｘ上の線形作用素について，すべての x∈Ｘ がある正の正数Ｍに対して
‖Ｔx‖≦Ｍ‖x‖
が成り立つときＴは
有界性をもつという．
定義(
有界作用素)
有界性をもつ作用素を
有界作用素(bounded operator)という．
定理
線形作用素Ｔがノルム空間Ｘで連続性
xn→x のとき，Ｔxn→Ｔx
をみたすための必要十分条件は，Ｔが有界性をみたすことである．すなわち，線形作用素に関して連続性と有界性は同値である．
証明
必要性：Ｔが連続性を満たしているものとする．このとき，有界性が成り立たないとすると，どんな自然数ｎに対しても
‖Ｔxn‖＞ n‖xn‖
となる x
n が存在する．このとき，
とおくと y
n→0 となる．このとき，
より，‖Ｔy
n‖→∞ となり，これは仮定である連続性に反する．
十分性：有界性が成り立つと仮定する．このとき，x
n→
x とすると，
‖Ｔx
n−Ｔx‖＝‖Ｔ(x
n−x)‖≦‖Ｔ‖‖x
n−x‖→
0
となり，Ｔx
n→Ｔx (n→∞) が示される．
定義(
線形作用素の和，スカラ倍)
Ｘ,Ｙを線形空間とする．２つの線形作用素Ｔ
i(i＝1,2)についてＤ(Ｔ
i)
Ｘ，Ｒ(Ｔ
i)
Ｙ なる線形作用素とする．このとき和 Ｔ
1＋Ｔ
2 ，およびスカラー倍 aＴ
1 (a∈Ｋ，ＫはＸ，Ｙの係数体)は次のように定義される．すなわち，
(1) Ｄ(Ｔ
1＋Ｔ
2)＝Ｄ(Ｔ
1)
Ｄ(Ｔ
2) , (Ｔ
1＋Ｔ
2)x＝Ｔ
1x＋Ｔ
2x (x∈Ｄ(Ｔ
1)
Ｄ(Ｔ
2))
(2) Ｄ(aＴ1)＝Ｄ(Ｔ1) , (aＴ1)x＝a(Ｔ1x) (x∈Ｄ(Ｔ1))
このことから，Ｔ
1＋Ｔ
2，aＴ
1 はともに線形作用素であることがわかる．
定義(
作用素のノルム)
空間Ｘから空間Ｙへの線形作用素
Ｔ∈Ｌ(Ｘ,Ｙ)の
作用素ノルム(norm of an operator)‖Ｔ‖は u∈Ｘ に対し，
と定義される．定義から直ちに不等式
‖Ｔu‖≦‖Ｔ‖・‖u‖
が得られる．
定義(ノルム収束)
Ｘ，Ｙをバナッハ空間として，Ｔ,Ｔn∈Ｌ(Ｘ,Ｙ) とする．このとき‖Ｔn−Ｔ‖→0 (n→∞)であれば，ＴnはＴに一様収束(uniform convergence)する，またはノルム収束する，という．
定義(
等長作用素)
Ｘ,Ｙをノルム空間とする．このとき，作用素Ｔ∈Ｌ(Ｘ,Ｙ)について，
‖u‖Ｘ＝‖Ｔu‖Ｙ
が成り立つとき，ＴはＸからＹへの
等長作用素(isometric operator)であるという．
