定義(線形空間) 係数体Ｋ＝Ｃ(複素数の全体)，またはＫ＝Ｒ(実数の全体)とする．集合Ｖが x,y,zＶ および α,βＫ に対して次の条件を満たしているとき，ＶをＫ上の線形空間(linear space)，あるいはベクトル空間(vector space)という．
係数体Ｋ＝Ｒでの線形空間をとくに実線形空間(real linear space)，または実ベクトル空間(real vector space)といい，Ｋ＝Ｃのとき複素線形空間という．

例１ Ｘ＝{ｘ | 収束する数列 x＝(ξ_n)，(n=1,2,...)} として，Ｘにおける加法およびスカラー乗法を成分ごとの和および定数倍として定義すればＸは線形空間となる．

定義(線形結合) 線形空間Ｘ上の有限個の元 x₁,x₂,・・・,x_n に対し， を x₁,x₂,・・・,x_n の線形結合(linear combination)または一次結合という．

定義(線形独立，線形従属) Ｋ上の線形空間Ｘの有限個の元 x₁,x₂,・・・,x_n について， を満たす a_k (k＝1,2,・・・,n) が だけであるとき，x₁, x₂,・・・, x_n は線形独立(linear independent)，または一次独立であるという．また，線形独立でないとき線形従属(linear dependent)であるという．また，一般に空集合φは線形独立であると定義する．

命題(線形独立，線形従属) 有限のベクトルの集合Ｘが線形独立であれば，その任意の部分集合Ｙ(Ｘ)も線形独立である．

証明 Ｘが線形独立であり，Ｙが線形従属であったと仮定する．このとき，Ｙ＝{x₁, x₂,・・・, x_m} (1≦m≦n) として一般性を失わない．Ｙが線形従属であれば， を満たすすべてが0でないような a₁,・・・, a_m が存在する．ここで，a_m＋1＝・・・＝a_m＝0 とすると，Ｘも線形従属となり矛盾が生じ，仮定が否定される．

定義(有限次元と無限次元) 線形空間Ｘにおいて，任意の自然数ｎに対してｎ個の一次独立な元が存在するとき，Ｘは無限次元(infinite dimension)であるといい，そうでないときＸは有限次元(finite dimension)であるという．

定義(ｎ次元) 有限次元の線形空間Ｘが０以外の元を持ち，Ｘの中に一次独立なｎ個の元が存在するとき，Ｘのいかなる n＋1 個の元も一次従属となるならば，Ｘはｎ次元であるという．

定義(部分空間) Ｘを係数体Ｋ上の線形空間とする．Ｘの部分集合ＹがＸの線形演算に関して閉じているとき，すなわち， が成り立つとき，ＹはＸの線形部分空間(linear subspace)または単に部分空間(subset)であるという．

定義(線形包) 一般にＸの部分集合Ｓが与えられたとき，Ｓを含む最小の部分空間はＳの要素の線形結合の全体となる．この部分空間をＳによって生成される部分空間，またはＳの線形包(linear hull)といい，しばしば記号 Ｌ.h.[Ｓ] で表される．

定義(線分) 線形空間Ｘの２点 u,v が与えられたとき，部分集合 を u,v を結ぶ線分といい，記号[u,v]で表す．

定義(凸集合) 線形空間Ｘの部分集合Ｋについて が成り立つとき，Ｋが凸集合(convex set)であるという．

定義(同型写像) ２つの線形空間ＸとＹで，ＸからＹへの線形写像φが存在し，φがＸからＹの上への１対１写像であるとき，ＸとＹは同型(isomorphism)であるという．また，この φ を同型写像(isomorphism,isomorphic mapping)という