定義(写像) 集合Ｘ,Ｙに対し，Ｘの各元ｘに対してＹの元ｙを対応させる規則をＸからＹへの写像(mapping)または関数(function)という．いまｆがＸからＹへの写像であるとき， で表す．このとき，Ｘをｆの定義域(domain)といい，Ｙをｆの終域という．また，写像ｆがＸの特定の元ｘをＹの元ｙに写像することを表現するときは とかく．このとき，ｙをｘのｆによる像または関数値といい，記号 f(x) などで表わす．ＡＸ のときに，Ａの元ｘの像 f(x) の全体からなる集合 をＡのｆによる像といい，記号 f(Ａ) で表わす．定義域Ｘの像 f(Ｘ) はｆの値域(range)という．

定理 f を集合Ｘから集合Ｙへの写像とする．このとき，空集合φに対して，f(φ)＝φ と規定する．これにより，明らかに，ＡＸのとき， である．また，Ａ₁Ｘ，Ａ₂Ｘ のとき， が成り立つ．この性質を単調性という．

定義(全射) ｆをＸからＹへの写像とする．写像の定義からｆの定義域 Ｄ(f) は始集合Ｘに一致するが，値域 Ｖ(f) は終集合Ｙと必ずしも一致しない．特に が成り立つときにはｆは集合Ｘから集合Ｙへの全射(surjection, surjective mapping, epimorphism)である，または上への(onto)写像であるという．この語法に対して，一般の写像を中へ(into)の写像ということもある．

定義(単射) 集合Ｘから集合Ｙへの写像ｆについて，Ｘの任意の元 x₁，x₂ に対して， が成り立つとき，ｆは集合Ｘから集合Ｙへの単射(injection, injective mapping, monomorphism)である，または１対１の写像であるという．

定義(全単射) 写像ｆ：Ｘ→Ｙが，全射かつ単射であるときｆは集合Ｘから集合Ｙへの全単射(bijection, injective mapping)である，または１対１上への(1 to 1 onto)写像であるという．

定義(線形写像) Ｖ,Ｖ' をそれぞれ Ｋ上の線形空間とする．ＶからＶ'への写像Ｔが次の二つの条件を満たすとき，ＡをＶからＶ'への線形写像(linear mapping)または一次写像という．

　(1) Ｔ(x₁＋x₂)＝Ｔ(x₁)＋Ｔ(x₂) ,　(x₁,x₂∈Ｖ)

　(2) Ｔ(cx)＝cＴ(x) ,　(cＫ)

また，(2)で c＝0 とすることで，ゼロベクトルをゼロベクトルに移すことがわかる．

定義(線形変換) ＶをＫ上の線形空間とする．ＶからＶ自信への線形写像を特にＶの線形変換(linear transformation)という．明らかにＶの二つの線形変換の積で表される合成変換もまたＶの線形変換である．

定義(開写像) 線形写像ｆ：Ｘ→Ｙ について，Ｘの任意の開集合Ｖに対して f(Ｖ) もまた開集合となるとき，ｆは開写像(open mapping)である，という．