定義(行列) m×n 個の数 a_ij を長方形に並べたもの をｍ行ｎ列の行列または(m,n)型行列または(m,n)行列という．ａ_i,jは式や関数のときもある．また，これをＡ＝(a_i,j)または Ａ＝[a_i,j] などとも書く．またこのとき，a_i,jをＡの(i,j)成分という．行列の横方向の並び行，縦方向の並びを列という．上から数えて第ｉ番目の行を第ｉ行，左から数えて第ｊ番目の列を第ｊ列という．

定義(行ベクトル，列ベクトル) 縦にｍ個の数を並べた (m,1) 型の行列をｍ次列ベクトルとよび，横にｎ個の数を並べた (1,n) 型の行列をｎ次行ベクトルという．特に (m,n) 型行列 Ａ＝(a_ij) の第ｉ行に配置されているｎ個の成分 a_i1，a_i2，... ,a_in の並びを Ａ の第ｉ行ベクトルとよび，第ｊ列に配置されているｍ個の成分 a_1j，a_2j，... ,a_mj の並びを Ａ の第ｉ列ベクトルとよぶ．

定義(正方行列) 行の数と列の数が等しい行列を正方行列(square matrix)という．

定義(実行列，複素行列) すべての成分が実数である行列を実行列(real matrix)といい，複素数の成分を含む行列を複素行列(complex matrix)という．

ある制限のもとで行列に対して和，差，積，逆，スカラ倍などの演算を定義できる．

定義(和) 二つの (m,n) 型の行列 Ａ＝(a_ij)，Ｂ＝(b_ij) に対して和 Ａ＋Ｂ を (i,j) 成分が a_ij＋b_ij に等しいような (m,n) 型の行列として定義する．すなわち， のとき， となる．

定義(スカラ倍) ｃを実数，または複素数とする．二つの (m,n) 型の行列 Ａ＝(a_ij) に対してｃ倍 cＡ を (i,j) 成分が ca_ij に等しいような (m,n) 型の行列として定義する．すなわち， のとき， となる．これを行列のスカラ倍という．特に (−1)Ａ を −Ａ で表す．

定義(差) 行列Ａ，Ｂの差 Ａ−Ｂ も (i,j) 成分が a_ij−b_ij に等しいような (m,n) 型の行列として定義される．

定義(零行列) 全ての成分が 0 である行列を零行列という．(m,n) 型の零行列をその型を明示するために Ｏ_m,n で表すこともある．また特に m＝n のときには Ｏ_n で表す．

定理(行列の演算法則) Ａ，Ｂ，Ｃ を(m,n) 型の行列とし，a,bＣ とする．このとき，和とスカラ倍の定義から直ちに次の関係が成り立つ．

(1)	1Ａ＝Ａ，0Ａ＝０，Ａ−Ａ＝０
(2)	Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ
(3)	(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)
(4)	(ab)Ａ＝a(bＡ)
(5)	(a＋b)Ａ＝aＡ＋bＡ
(6)	a(Ａ＋Ｂ)＝aＡ＋aＡ

定義(積) Ａ＝(a_ij) を (l,m) 行列，Ｂ＝(b_ij) を (m,n) 型の行列とする．このとき

　　　

を (i,k) 成分としてもつ (l,n) 型の行列を Ａ と Ｂ の積 ＡＢ と定義する．すなわち，

　　

のとき

　　　

となる．

定義(零因子) 行列ＡとＢがどちらも０行列でないときでも，その積 ＡＢ＝０ となることがある．このとき，ＡやＢを零因子(zero divisor, nil factor)という．