定理(
行列の積に関する法則)
Ａ，Ｂ，Ｃ をそれぞれ (k,l)型，(l,m)型，(m,n)型の行列とする．このとき，
| (1) | (ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ) (結合則) |
| (2) | c(ＡＢ)＝(cＡ)Ｂ (スカラ倍) |
| (3) | Ａ(Ｂ＋Ｃ)＝ＡＢ＋ＡＣ (右分配則) |
| (4) | (Ａ＋Ｂ)Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣ (左分配則) |
| (5) | ＯＡ＝ＡＯ＝Ｏ (零行列との積) |
が成り立つ．(1) が成り立つので，これらを ＡＢＣ と書くことが許される．
証明
結合則 (1) について Ａ＝(a
ij)，Ｂ＝(b
ij)，Ｃ＝(c
pq) とおく．ＡＢは(k,m)型の行列であり，その(i,p)成分は
となる．(ＡＢ)Ｃ は(k,n)型の行列であり，その(i,p)成分は
| (e1) |  |
で与えられる．次に ＢＣ は(l,m)型の行列であり，その(j,q)成分は
となる．Ａ(ＢＣ) は(k,n)型の行列であり，その(i,q)成分は
| (e2) |  |
で与えられる．(e1) と (e2) は等しいので定理が示された．(2)から(5)も同じようにして証明できるから省略．
