ノルム空間
■ 距離空間と距離関数
定義(
距離空間，距離関数)
空間Ｘの点 x,y,z に対して，Ｘ×Ｘ上の実数値関数
d(x,y)が存在して，以下の距離の公理を満たすものとする
(1) d(x,y)≧
0
(2) x＝y のときにのみ d(x,y)＝
0
(3) d(x,y)＝
d(y,x)
(4) d(x,y)≦
d(x,y)＋d(y,z)
このとき，d(x,y) は x と y の
距離(distance)または
距離関数(distance function)といわれ，このようなｄが定義される空間を
距離空間(metric space,distance space)といい，
(Ｘ,d)などと表される．
定義(
点列)
(Ｘ,d)を距離関数dをもつ距離空間とする．いま自然数ｎにＸの点
p
nを対応させる写像
n
pn をＸの
点列(point sequence, sequence of points)と呼び，一般に{p
n} (n＝1,2,・・・) などとかく．また，点列{p
n} に対して適当な n'∈Ｎ を抜き出して得られる点列 {p
n'} を {p
n}の
部分点列(subsequence)，または
部分列という．
定義(
収束)
距離空間(Ｘ,d)上の点列{p
n}について，任意のε＞
0 に対し，ある自然数Ｎが存在して n≧Ｎ のとき，
d(pn,p∞)＜ε
が成り立つとき，点列{p
n}はＸの点
p
∞に
収束(converge(to),convergence)するという．点列{p
n}が
p
∞に収束するとき，{p
n}は
p
∞を
極限(limit)または
極限値(limit value)にもつ，という
定理(極限の一意性)
距離空間において収束する点列の極限は一意である．
証明
Ｘを距離空間とする．２点 q
1,q
2 がともに点列{p
n}の極限であるとすると，任意のε＞0 に対してある自然数Ｎが存在し，n＞Ｎ とすると，
| d(q1,q2) | ≦ d(q1,pn)＋d(pn,q2) |
| ＜ 2ε |
となる．ε は任意であったので d(q
1,q
2)＝
0 ，すなわち q
1＝
q
2 である．
■ ノルム空間
定義(
ノルム)
線形空間
Ｘから，非負実数の集合 Ｒ
+＝[0,∞) への写像:
‖・‖ ： u∈Ｘ
‖u‖∈Ｒ
+
が次の性質 (1), (2), (3)を満たすとき，
ノルム(norm)であるという．すなわち，
(2) α∈Ｋ , u∈Ｘに対して，‖αu‖＝|α|‖ｕ‖ （斉次性）
(3) u,v∈Ｘ に対し，‖u＋v‖≦‖u‖＋‖v‖ （三角不等式）
三番目の
三角不等式(triangle inequality)は特に重要である．ただし，Ｋは実数体や複素数体などの係数体である．
定義(
ノルム空間)
線形空間Ｘとその上のノルム‖･‖が与えられたとき，この組
（Ｘ,‖･‖）
を
線形ノルム空間(normed linear space)または単に
ノルム空間(normed space)とよぶ．つまりノルムが定義されている線形空間をノルム空間という．
命題
ノルム空間Ｘの元 x
1,x
2,・・・,x
n に対して，
が成立する．
証明 三角不等式から明らか．
定義(
収束)
Ｘをノルム空間とし，Ｘ上の点列
{x
n}
が x にＸで
収束(converge(to), convergence)するとは，n→∞ のとき，‖x−x
n‖→
0 が成立することである．このとき距離空間の場合と同様に x
n の
極限(limit)または
極限値(limit value)が x であるといい，
と表される．Ｘにいろいろな位相を導入する際には，このようなノルムによる収束をとくに
強収束(strong convergence)といい，その極限を
強極限(strong limit)という．，これを区別のために
とかくこともある．
定義(
集積点)
ノルム空間Ｘの部分集合Ｍについて，x∈Ｘに収束するようなｘと異なるＭの元からなる点列が存在するとき，ｘはＭの
集積点(accumulating point)であるという．
定義(
閉包)
ノルム空間Ｘの部分集合Ｍについて，Ｍの集積点全体の集合をＭの
閉包(closure)という．
命題
ノルム空間Ｘにおいて，u および点列
{un} , n＝1,2,・・・ について
となる．すなわち，u
n は有界である．
証明
まず，三角不等式から
| ‖un‖−‖u‖ | ＝ | ‖un−u＋u‖−‖u‖ |
| ≦ | ‖un−u‖＋‖u‖−‖u‖ |
| ＝ | ‖un−u‖ |
となり，同様に
‖u‖−‖un‖≦‖u−un‖
がそれぞれ示される．従って，
|‖u‖−‖u
n‖|≦‖u−u
n‖→
0
が得られる．これからたちに命題が示される．
定理
ノルム空間において線形演算は連続である．
証明
(加法の連続性) u
n∈Ｘ
, v
n∈Ｘ かつ，u
n→
u
0，v
n→
v
0 (n→0) として，
を示せばよい．三角不等式より，
| ‖(un＋vn)−(u0＋v0)‖ | ＝ | ‖(un−u0)＋(vn−v0)‖ |
| ≦ | ‖un−u0‖＋‖vn−v0‖ |
となり示される．
(スカラー乗法の連続性)
αn∈Ｋ , αn→α0 (n→∞)
かつ，u
n∈Ｘ，u
n→
u
0 (n→∞) を仮定して，
αnun → α0u0
を示せばよい．
αnun−α0u0＝(αn−α0)un＋α0(un−u0)
より，
‖αnun−α0u0‖≦|αn−α0|‖un‖＋|α0|‖un−u0‖→0
となり示される．
命題
ノルム空間は距離空間である．
証明
いま，空間Ｘをノルム空間とし，そのノルムを‖‖で表す．このとき，任意の x,y
Ｘに対して関数ｄを
d(x,y)＝‖x−y‖
で定めると，明らかにｄはＸ上の距離関数である．
定義(
有界)
ノルム空間Ｘの部分集合Ｓに対して，正の定数Ｍが存在し，任意の元
x∈Ｓ に対して
‖x‖≦Ｍ が成り立つとき，集合Ｓは
有界(bounded)であるという．
定義(
最大値ノルム)
区間[a,b]上で定義された連続関数の全体からなる空間
Ｃ[a,b]上の任意の元 x に対してノルムを
で定義すると，これはノルムの定義を満たしている．これを
最大値ノルム(maximum norm)といい，しばしば‖x‖
∞などと書かれる．
命題(Ｃ[a,b])
閉区間[a,b]で定義された連続関数の集合 Ｃ[a,b] は最大値ノルムによってノルム空間となる．すなわち，
x(t)∈Ｃ[a,b]
についてノルムを
とするとこれはノルムの公理を満たす．
証明
簡単なので省略．
命題
最大値ノルムにおける関数列の収束は，微分積分学での区間[a,b]上での一様収束と一致する．
証明
一様収束の定義そのものと一致している．
定義(
同値なノルム)
ノルム空間Ｘで二つのノルム‖・‖
1，‖・‖
2 が定義されているとする．このとき，x∈Ｘ に対して，
a‖x‖2≦‖x‖1≦b‖x‖2
となる正の定数 a,b が存在するとき，これらのノルムは
同値(equivalent)であるという．
定義(
直積)
Ｘ,Ｙをノルム空間とし，ノルムをそれぞれ‖・‖
Ｘ，‖・‖
Ｙ とし，Ｘ,Ｙはともに係数体Ｋをもつものとする．いま，x
Ｘ，y
Ｙ の対 [x,y] の全体について線形演算およびノルムを次のように定義する：
1) [x
1,y
1]＋[x
2,y
2]＝[x
1＋x
2, y
1＋y
2] (x
1,x
2Ｘ, y
1,y
2Ｙ)
2) a[x
1,y
1]＝[ax
1, ay
1] (a
Ｋ，x
1Ｘ, y
1Ｙ)
3) ‖[x,y]‖＝‖x‖
Ｘ＋‖y‖
Ｙ (x
Ｘ，y
Ｙ)
このとき，この集合はノルム空間となり，これをＸとＹの
直積空間(product space)といい Ｘ×Ｙ などとかく．
■ 半ノルム
定義(
半ノルム)
Ｘを係数体Ｋ上の線形空間とする．このとき，関数 p(・)：Ｘ→Ｒ が３つの条件
(1) p(ax)＝|a|p(x) (a∈Ｋ，x∈Ｘ)
(2) p(x＋y)≦p(x)＋p(y) (x,y∈Ｘ)
を満たすとき，ｐはＸの
半ノルムまたは
セミノルム(semi-norm)であるという．
(注意)
半ノルムｐは
p(x)＝0
x＝0
を満たさないことに注意する．
命題
線形空間Ｘ上の半ノルムｐについて，次の性質が成り立つ．
(1) p(x)≧0
(2) p(0)＝0
(3) |p(x)−p(y)|≦p(x−y)
を満たさないことに注意する．
証明
半ノルムの定義から，
p(0)＝p(0x)＝0p(x)＝0.
よって，(2)が示された．次に
p(x)＝p(y＋x−y)≦p(y)＋p(x−y),
p(y)＝p(x＋y−x)≦p(x)＋p(y−x),
である．ここで，
p(x−y)＝p(-(x−y))＝|-1|p(y−x)＝p(y−x),
より，
p(x)−p(y)≦p(x−y),
p(y)−p(x)≦p(x−y).
つまり，(3) が示された．(1) は (3) で y＝0 の場合を考えると，(2) の主張から
0≦|p(x)|≦p(x)
である．
u＝
