定義(直交系) 内積空間Ｈの部分集合Ｓで，0 を含まずその任意の異なる２つの元が直交するものを直交系(orthonormal set,orthogonal system)といい，さらにすべての元のノルムが１であるときは，特に正規直交系(orthonormal syatem,orthonormal set)という．すなわち，Ｈの加算個の部分集合{x₁,x₂,・・・}について， が成り立つ場合である．ただしδ_ij はクロネッカーのδ(デルタ)記号(Kronecker's symbol,Kronecker's delta)といい， で定義される．

定義(正規直交基底) 可分なヒルベルト空間Ｈの正規直交系{x_k} (k＝1,2,・・・} に対し，任意の x∈Ｈ に対して係数の列 a₁,a₂,・・・ が存在して， が成り立つとき，{x_k} (k＝1,2,・・・) は正規直交基底(orthonormal basis)または完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという．この場合，Ｈの任意の元は正規直交系{x_k} (k＝1,2,・・・) の元の一次結合で表すことができる(正確に近似できる)ことになる．

定理(ピタゴラスの定理) {x_n} (n＝1, 2,・・・, N) を内積空間Ｖの中の正規直行系であるとする．すべての ｘ∈Ｖ について が成り立つ．これをピタゴラスの定理(Pythagorean theorem)という．

証明 いま と書き換えて考える．内積の性質から となることがわかる．このことから以下の等式が得られる． よって定理が示された．

命題(ベッセルの不等式) {x_n}(n＝1,2,･･･) をヒルベルト空間Ｘ上の正規直交系とすると，任意の x∈Ｘ に対してベッセルの不等式(Bessel's inequality) が成り立つ．

証明 ノルムを内積で表して展開すると



となり，n→∞ として移項するとベッセルの不等式が得られる．{x_k} が完全であれば等号が成立する．

フーリエ関数系

Ｌ^p(I) I＝[-π,π] 上の関数の列

　　　

は正規直交系をなし，基底となっている．これをフーリエ関数系という．，