定義(内積) Ｘを複素数体Ｃ上の線形空間とするとき，Ｘ×ＸからＫへの写像： が内積(inner product)であるとは，次の条件を満たすことである．

(1) α,β∈Ｋ，u,v,w∈Ｘ に対して， (2)　u,v∈Ｘ に対して， 　　ただし右辺はは複素共役を表す．

(3) 任意の u∈Ｘ に対して，(u,u)≧0 であり (u,u)＝0 ⇔ u＝0 である．　(正値性)

定義(準双線形性) 上の内積の定義から α,β∈Ｃ，u,v,w∈Ｘ に対して となる．この式から (u,v)(u,v) は第１成分に関して線形で，第２成分に関して共役線形(conjugate linear)である．内積のこのような性質を準双線形性(sesqui linearrity)という．

定義(双線形形式) Ｖ,Ｗを線型空間とするとき, Ｖ×Ｖ→Ｗ の写像 a(・,・) が，任意のＶの元 u, u₁, u₂, v, v₁, v₂ と任意のスカラー α に対して,

	a(u1＋u2 , v)＝a(u1,v)＋a(u2, v)
	a(u, v1＋v2)＝a(u, v1)＋a(u, v2)
	a(αu, v)＝a(u, αv)＝αa(u, v)

をみたすとき，このような写像を双線形形式(bilinear form)(または双一次形式)という．

定義(内積空間) 内積が定義されている線形空間Ｘを内積空間(inner product space)またはプレ・ヒルベルト空間(pre-Hilbert space)という．

命題 内積空間Ｘ上の内積(x,y)は， を満たす．

証明 双一次形式の定義の中で用いた式で α＝β＝1 とすると最初の式が得られる．また， となって内積の定義から簡単に２番目の式が示される．

例 Ｎ個の複素数の集合からなる空間Ｃⁿについて，x,y∈Ｃⁿ をそれぞれ， とすると， は内積となる．

定理 (・,・) を線形空間Ｘの内積としたとき，これに対応するノルムを

　　　
で定義すると，これはノルムの公理を満たす．証明のためには三角不等式を示せば，あとは簡単だから省略する．三角不等式の証明の前に次の命題を考える．

命題(シュワルツの不等式) 内積空間Ｘ上の２点 u,v∈Ｘ について， となり，等号は |α|＋|β|≠0 なる α,β∈Ｃ が存在して， となるときにのみ成立する．この不等式をシュワルツの不等式(Schwarz' inequarity)という

証明 内積の公理から，次式が成り立つ．

0	≦	‖αu＋v‖2＝(αu＋v,αu＋v)
	＝	|α|2(u,u)＋α(u,v)＋(v,u)＋(v,v)
	＝	|α|2‖u‖2＋‖v‖2＋2Ｒe[α(u,v)]

(u,v)＝0 のとき，命題は明らかである．(u,v)≠0 と仮定して

　　　
とすると，上の式は次のようになる．

　　　‖u‖²λ²＋2|(u,v)|λ＋‖v‖²≧0

従って判別式から，

　　　|(u,v)|²−‖u‖²‖v‖²≦0

となり，求めるシュワルツの不等式が得られる．等号は‖αu＋v‖²＝0のときにのみ成り立ち，命題と一致する．

命題 上のシュワルツの不等式からノルムに関する三角不等式 が得られる．

証明 シュワルツの不等式から

‖a＋b‖2	＝	(a＋b,a＋b)
	＝	‖a‖2＋‖b‖2＋2Ｒe[(a,b)]
	≦	‖a‖2＋2‖a‖‖b‖＋‖b‖2
	＝	(‖a‖＋‖b‖)2

となり，最初の命題が示される．

定理(中線定理) 内積から導かれるノルムにたいし， が成り立つ．これを中線定理(parallelogram theorem,parallelogram law)という．

証明 上のシュワルツの不等式の証明から， より示される．

命題 内積は連続関数である．即ち，x_n→ x , y_n→ y であるとき，(x_n,y_n)＝(x,y) となる．

証明

(xn,yn)−(x,y)	＝	(xn,yn)−(x,yn)＋(x,yn)−(x,y)
	＝	(xn−x,yn)＋(x,yn−y)
	＝	(xn−x,yn)−(xn−x,y)＋(xn−x,y)＋(x,yn−y)
	＝	(xn−x,yn−y)＋(xn−x,y)＋(x,yn−y)

となり，シュワルツの不等式から，

(xn−x,yn−y)	≦	‖xn−x‖･‖yn−y‖
(xn−x,y)	≦	‖xn−x‖･‖y‖
(x,yn−y)	≦	‖x‖･‖yn−y‖

となり，示される．

定義(直交) Ｘを内積空間として，x,y∈Ｘ とする．このとき が成り立つとき，x と y は互いに直交(orthogonal)するといい，xy (または yx) などとかく．