元(または要素)ａが集合Ａに属することを，記号 で表す．このとき，集合Ａはａを元として含むという．元ａが集合Ａに属さないというときには ａＡ とかく．

定義(外延的記法) 元 a，b，... からなる集合を という記号で表すことがあり，これを集合の外延的記法という．

　元ａだけからなる集合は {a} で表し，a，b，c からなる集合は {a，b，c} のように表す．また，自然数全体からなる集合Ｎは {1，2，...，n，...} のように表される．

定義(内包的記法) 集合の元一般をｘで表し，元ｘが満たす性質あるいは条件を Ｐ(x) とするとき，Ｐ(x) を満たすもの全てからなる集合を

　　　{x|Ｐ(x)}

という記号で表し，これを内包的記法という．

定義(有限集合，無限集合) ある集合Ａに属する元の数が有限であるとき，Ａは有限集合であるといい，そうでないとき無限集合という.

定義(部分集合) 集合Ａのすべての元が集合Ｂの元であるもあるとき，ＡはＢの部分集合(subset)であるといい ＡＢ(またはＢＡ) または ＡＢ(またはＢＡ) と書く．集合ＡはＡ自身の部分集合である．

定義(集合の相等) 集合Ａと集合Ｂに関して ＡＢ かつ ＢＡ のとき，集合Ａと集合Ｂは等しいといい，Ａ＝Ｂ と表す．また，そうでないときにＡ≠Ｂと表す．

定義(真部分集合) ＡＢ かつ Ａ≠Ｂ のとき，ＡはＢの真部分集合(proper subset)であるといい，このとき ＡＢ で表す．

定理 ３つの集合 Ａ，Ｂ，Ｃ について関係 が成り立つ．

証明 定義から明らかである．

定義(空集合) 元を一つも含まない集合を空集合(empty set)といいしばしば φ で表される．空集合はすべての集合の部分集合となる．また と規定する．

定義(集合系) ある集合Ｘの元がすべてそれ自身集合であるとき，このような集合Ｘを集合系(system of sets)という．

定義(ベキ集合) 集合Ａに対して，その部分集合全体が作る集合系を集合Ａの巾(ベキ)集合(power set)といい，しばしば記号Ｐ(Ａ)などで書かれる．

集合 Ｘ＝φ のとき Ｐ(Ｘ)＝{φ} であり，Ｐ(Ｘ)＝φ とはならないことに注意する必要がある．

定義(部分集合系) ある一つの普遍集合Ｘのベキ集合 Ｐ(Ａ) の任意の部分集合から成る集合系をＸの部分集合系という．

定義(和集合) 集合Ａ，Ｂについて，Ａの元とＢの元のみからなる集合を和集合(sum of sets)，または合併集合(union)といい，ＡＢと書く(記号はユニオン(union)またはカップ(cup)と読む)．任意の集合Ａに対して と規定する．

定義(共通集合) 集合Ａと集合Ｂの両方に含まれる元全体の集合を交わり(intersection,cap meet)，積集合(product set)または共通集合といい，ＡＢと書く(記号はインターセクション(intersection)またはキャップ(cap)と読む)．任意の集合Ａに対して と規定する．

定理 集合 Ａ，Ｂ，Ｃ について次の関係が常に成り立つ．

証明 明らかだから省略．

系 定理の結果から次が成り立つ．

証明 (1) 上の定理の(3)から ＡＡＡ．さらに ＡＡ より，定理の(4)から ＡＡＡ．すなわち ＡＡ＝Ａ．同様に定理の(3)から ＡＡＡ．ＡＡ より，定理の(5)から ＡＡＡ．すなわち ＡＡ＝Ａ．

(2) 上の定理の(3)から Ａ(ＡＢ)Ａ．さらに ＡＡ，ＡＢＡ(定理(3)) より，定理の(4)から Ａ(ＡＢ)Ａ．すなわち Ａ(ＡＢ)＝Ａ． 同様に定理の(3)から Ａ(ＡＢ)Ａ．さらに ＡＡ，ＡＢＡ(定理(3)) より，定理の(5)から Ａ(ＡＢ)Ａ．すなわち Ａ(ＡＢ)＝Ａ．

定義 ３つ以上の集合の和集合および共通集合も２つの集合の場合と同様にして次のように定義する． これらはそれぞれ記号 で表される．

定義(直和) ＡＢ＝φ となるとき，すなわちＡとＢは交わらないとき，ＡとＢは互いに素であるといい，Ａ,Ｂ,Ｃ,･･･ のすべてが互いに素(どの２つも交わらない)であるとき，これらの和集合： を直和(direct sum)といい，しばしば で表される．

定義(直積) Ａ,Ｂを２つの集合とする．aとbをそれぞれＡ,Ｂの元としたとき，これらを順番に並べた組(a,b)全体のつくる集合を，ＡとＢの直積または単に積といい， で表される．