定義(対角成分，非対角成分) ｎ次正方行列の左上から右下への対角線上にある成分，すなわち a₁₁, a₂₂, ..., a_nn を対角成分(diagonal element)といい，それ以外の成分を非対角成分という．

定義(対角行列) 非対角成分がすべて０である行列を対角行列(diagonal matrix)という．

定義(単位行列) 全ての対角成分が１である対角行列を単位行列(unit matrix, identity matrix)といい，しばしばＩまたはＥで表す．

定理 Ａ，Ｂが共にｎ次の対角行列であるとき，積 ＡＢ および ＢＡ もまた対角行列であり が成り立つ．

証明 Ａ＝(a_ij)，Ｂ＝(b_ij) とする．明らかに ＡＢ および ＢＡ はともにｎ次の正方行列であり，それぞれ ＡＢ＝(c_ij)，ＢＡ＝(d_ij) とする．i≠j のとき， より，ＡＢ，ＢＡ はともに対角行列である．さらに より，ＡＢ＝ＢＡ が示された．

定理 I_m，I_n をそれぞれｍ次とｎ次の単位行列とする．このとき(m,n)型の行列Ａに対して が成り立つ．

証明 簡単だから省略．

Ａが正方行列であるとき，積 ＡＡ，ＡＡＡ，などが定義できて，これらは Ａ と同じ型の正方行列となる．一般にＡのｐ個の積を Ａ^p で表し，特に Ａ⁰＝Ｉ (単位行列) と定義する．

定義(転置行列) a_ij を (i,j) 成分とする (m,n)型の行列 Ａ＝(a_ij) に対して，ａ_ji を (i,j) 成分とする (n,m)型の行列をＡの転置行列(transposed matrix)といい，Ａ^Ｔ，または ^tＡ で表す．

命題 転置行列について次の関係が成り立つ

　(1)　　(cＡ)^Ｔ＝cＡ^Ｔ

　(2)　　(Ａ＋Ｂ)^Ｔ＝Ａ^Ｔ＋Ｂ^Ｔ

　(3)　　(Ａ^Ｔ)^Ｔ＝Ａ

　(4)　　(ＡＢ)^Ｔ＝Ｂ^ＴＡ^Ｔ

証明 (1)から(3)は簡単なので省略する．(4)について，まず，Ａ＝(a_i,j)，Ｂ＝(b_j,k) とすると，(ＡＢ) の (i,k) 成分は となる．一方，Ｂ^Ｔの (k,j) 成分は b_j,k，Ａ^Ｔの (j,i) 成分は a_i,j となるので，Ｂ^ＴＡ^Ｔ の (k,i) 成分は となり，これらが一致することがわかる．

定義(対称行列，交代行列) Ａ^Ｔ＝Ａ となる正方行列を対称行列(symmetric matrix)といい，Ａ^Ｔ＝−Ａ となる正方行列を交代行列(skew symmetric matrix)という．

命題 任意の正則行列Ａは対称行列と交代行列の和で一意に表すことができる．

証明 （存在について）正則行列Ｂ，Ｃを ととれば，Ｂは対称行列，Ｃは交代行列となり，明らかに である．

（一意性について）ＡがＢ，Ｃと異なる対称行列Ｂ'，交代行列Ｃ' で と書けるとすると， となり，従って となり矛盾する．

定義(複素共役行列) 行列 Ａ＝(a_i,j) について，a_i,j の複素共役を(i,j)成分とする行列をＡの複素共役行列(complex conjugate matrix)といい，で表す．

定義(共役転置行列) 行列Ａの複素共役行列の転置行列をＡの共役転置行列(conjugate transposed matrix)といい，Ａ^＊ で表す．

命題 共役転置行列について，転置行列と同様の次の関係が成り立つ

　(1)　　(cＡ)^＊＝Ａ^＊

　(2)　　(Ａ＋Ｂ)^＊＝Ａ^＊＋Ｂ^＊

　(3)　　(Ａ^＊)^＊＝Ａ

　(4)　　(ＡＢ)^＊＝Ｂ^＊Ａ^＊

定義(エルミート行列) Ａ^＊＝Ａ となる正方行列をエルミート行列(Hermitian matrix)という．また，Ａ^＊＝−Ａとなる正方行列を歪エルミート行列(skew-Hermitian matrix)という．

定理 行列Ａが実数行列のとき， および が成り立つ．

証明 定義から明らか．