転置行列２
定義
(
行列のトレース
) ｎ次正方行列 Ａ＝[a
ij
] の対角成分の和 a
11
＋・・・＋a
nn
を行列Ａの
トレース
といい，
tr(Ａ)
で表す．すなわち，
tr(Ａ)＝a
11
＋・・・＋a
nn
．
である．
定理
行列のトレースについて，次の性質が成り立つ．
(1) tr(cＡ)＝c
tr(Ａ), ｃは複素数，Ａは正方行列,
(2) tr(Ａ＋Ｂ)＝tr(Ａ)＋tr(Ｂ), Ａ，Ｂは正方行列,
(3) tr(ＡＢ)＝tr(ＢＡ), Ａは
(m,n)
型行列，Ｂは
(n,m)
型行列.
証明
実際に成分で書き下せば明らかだから省略．
定義
(
上三角行列，下三角行列
) 正方行列 Ａ＝[a
ij
] について，i＞j のとき ａ
ij
＝0 ならば，Ａは
上三角行列
である，といい，i＜j のとき ａ
ij
＝0 ならばＡは
下三角行列
である，という．これらをまとめて
三角行列
という．
定理
行列Ａ，Ｂがともに上(下)三角行列であれば，和Ａ＋Ｂ，および積 ＡＢ はいずれも上(下)三角行列である．
証明
Ａ，Ｂ が上三角行列を考える．和Ａ＋Ｂが上三角行列になることは明らかなので省略し，積ＡＢについて考える．
Ａ＝[a
ij
]，
Ｂ＝[b
ij
]
をｎ次正方行列とする．ＡＢの第
(i,k)
成分をｃ
ik
とすると，
となる．ここで，i＞j のとき，ａ
ij
＝0，j＞k のとき，b
jk
＝0 なので i＞k のときは，c
ik
＝0．よって，ＡＢは上三角行列である．下三角行列の場合も同じだから省略．
