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マンホイットニーのU検定

　順位に基づくノンパラメトリック検定の1つで扱うデータは独立2群のデータです。すなわちマンホイットニーのU検定では2群の代表値に差があるかどうかを確かめることができます。

マンホイットニーのU検定は、、、 順序尺度のデータに適用できる ノンパラメトリック検定の1つである 独立2群のデータに適用できる 2群の代表値に差があるかを確かめることができる

検定手順

　以下のデータはある大学の入学試験（数学）から男女20人を抽出して得たデータです。

帰無仮説H₀：男性と女性の点数の代表値に差はない

その1　全てのデータをいっしょにして順位づけを行います。このとき同順位がある場合はフリードマン検定のページ（ページの1番下）を参考にして順位づけを行ってください。以下の表はデータを昇順（小さい順）に並べてあり,赤文字は女性,青文字は男性のデータを表しています。

その2　群ごと（今回の場合は男性群と女性群）の順位和を求めます。男性群の順位和をR₁,女性群の順位和をR₂として計算してみましょう。すると次のようになります。

R₁=538.5
R₂=281.5

その3　次式によりU統計量を計算します。

　男性のU統計量をU₁,女性の場合をU₂として計算してみると次のようになります。

U₁=328.5
U₂=71.5

その4　もしnが十分に大きい場合は平均=,分散=の正規分布に近似的に従います。これを利用してｚ得点を算出して棄却できるかどうかを考えるか,あるいはそうでなければマンホイットニーのU検定の統計数値表をみて判断します。その場合はU統計量の小さい方を採用して考えます（つまり今回の場合では U₂=71.5）。後者の場合は手元に数表があればそれを見ればよいですし,なければ群馬大学の青木先生のwebサイトにも用意されているので,そちらを参考にさせていただくとよろしいかと思います。

　今回のケースではｎが十分に大きいので正規分布を利用して検定することができますが,同順位がある場合は上で紹介した分散の式は使えません（別の式で分散を修正する必要があります）。まぁ,実務的にはコンピュータを使ってしまうので興味のある人はノンパラメトリック検定について書かれている本で定義式などを見てみるのも良いでしょう。

> x
 [1] 89 90 88 73 60 69 80 84 79 91 68 73 82 66 70 85 90 92 86 79
> y
 [1] 67 59 80 70 74 66 71 58 50 67 80 81 56 74 68 70 72 58 60 63
> wilcox.test(x,y,paired=F)

        Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  x and y 
W = 328.5, p-value = 0.0005299
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

Warning message:
タイがあるため、正確な p 値を計算することができません in: wilcox.test.default(x, y, paired = F)

　Wilcoxon rank sum test（ウィルコクソンの順位和検定）となっていますが,マンホイットニーのU検定とウィルコクソンの順位和検定は（同じとはいいませんが）同位な検定方法なのです。ただしウィルコクソンの符号付順位和検定とは異なるので注意してください。

○ウィルコクソンの順位和検定＝マンホイットニーのU検定
　　　　　⇒2群独立データに適用

○ウィルコクソンの符号付順位和検定
　　　　　⇒2群対応ありのデータに適用

☆ｐ値で判断しましょう

　p-value=0.0005299＜0.05なので帰無仮説を棄却することができます。したがって,男性と女性の点数の代表値には差が認められる。すなわち,男性の方が数学の点数が高いようであることが分かりました。

例　題

　あまり良い例が思い浮かばないので,良い例が思いついたら作成します。