• 波動関数は『場』ではありません

• トレース操作と波束の収縮との関係

• 純粋状態と混合状態

• ＥＰＲ現象

• 推薦図書

波動関数は『場』ではありません

『場』というのは、我々の住んでいる空間に存在する物理量で、量子論的に扱う と演算子になります。一方、波動関数というのは、ヒルベルト空間のベクトル（ あるいは、それを粒子の位置の固有状態で表示したもの）であって、古典的な対 応物はありません。演算子としての物理量が働きかける被演算子が波動関数です。 （ド・ブロイ場と混同しないように！）

例えば、K 次元のベクトル v は、基底ベクトルを e_1, e_2, ..., e_K として

v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + ... + v_K e_K

|psi> = integral dq_1'dq_2'...dq_3n' psi(q_1',q_2',...,q_3n') |q_1'>|q_2'>...|q_3n'>

(q_i|q_i'> = q_i'|q_i'>, (i = 1,2,...,3n))

ここで重要なのは、(q_1',q_2',...,q_3n') が古典的な物理量（観測値）であっ て、場の量のインデックスではないということです。

量子力学の確率解釈 では、状態ベクトルをあ る物理量（演算子）の固有ベクトルで展開したときの展開係数の絶対値の二乗が、 その物理量の対応する観測値（固有値）を見出す確率になっていると解釈します。 上記の例では、粒子の位置 (q_1,q_2,...,q_3n) の固有状態で展開していますので、 その展開係数の絶対値の二乗 |psi(q_1',q_2',...,q_3n')|^2 が、粒子を (q_1',q_2', ...,q_3n') に見出す確率（密度）になります。

粒子数が１の時、たまたま psi(x,y,z) と書けて場の量の様に見えますが、こ の場合でも (x,y,z) で張られる空間は配位空間であって、実空間ではありませ ん。

また、場の量子論でも波動関数が場の量になるわけではありません。有限個の 力学変数 q_i が無限個の力学変数 phi(x,y,z) になった（無限にある実数値 の組 (x,y,z) のそれぞれに対して力学変数 phi(x,y,z)がある）だけで、量子力 学の理論的な枠組みは変わりません。（対応する波動関数は、無限個の変数から 成りますので、波動汎関数と呼ばれます。）

トレース操作と波束の収縮との関係

X という物理量を考え、その i 番目の固有値を X_i、固有ベクトルを |X_i> と します：

X |X_i> = X_i |X_i>

<X> = |<X_1|P>|^2 X_1 + |<X_2|P>|^2 X_2 ...

    = <X_1|P><P|X_1> X_1 + <X_2|P><P|X_2> X_2 ...

    = <X_1|P><P|X|X_1> + <X_2|P><P|X|X_2> ...

    = Tr{|P><P|X}

この様に、密度行列で期待値を計算するというのは，波束の収縮が終わった後の 統計的な集団について記述しているだけで、波束の収縮過程を記述している訳で はありません。

純粋状態と混合状態

観測前の観測対象の状態を、

|psi> = sum_i C_i |X_i>

rho_0 = |psi><psi|

<Y>_0 = Tr {Y rho_0}
      = sum_n Y_n |<Y_n|psi>|^2
      = sum_n sum_i sum_j Y_n C^*_i C_j <X_i|Y_n><Y_n|X_j>

一方、 X を観測した後 Y を観測して得られる Y の期待値 は、つぎのよう になります。まず、 |psi> の状態で X を観測すると |C_i|^2 の確率で X_i が得られ、 |X_i> に移ります。その後、|X_i> の状態で Y を観測すると、 |<Y_n|X_i>|^2 の確率で Y_n が得られます。従って、従属事象の確率の公式 を使って、

<Y> = sum_n sum_i Y_n P(Y_n|X_i) P(X_i)
    = sum_n sum_i Y_n |<Y_n|X_i>|^2 |C_i|^2
    = sum_n sum_i Y_n |C_i|^2 <Y_n|X_i><X_i|Y_n>
    = sum_n <Y_n| Y_n {sum_i |C_i|^2 |X_i><X_i} |Y_n>
    = Tr {Y rho}

rho  = sum_i |C_i|^2 |X_i><X_i|

Y_n {C^*_i C_j <X_i|Y_n><Y_n|X_j> + (c.c.)},    i != j

rho_0^2 は

rho_0 rho_0 = |psi><psi||psi><psi|
            = |psi><psi|
            = rho_0

Tr rho_0^2 = Tr rho_0 = 1

rho rho = sum_i |C_i|^2 |X_i><X_i| sum_j |C_j|^2 |X_j><X_j|
        = sum_i |C_i|^4 |X_i><X_i|

Tr rho^2 <= Tr rho = 1

状態ベクトルの時間発展はユニタリ変換 U(t) = exp(-iHt) で表されますから、 密度行列の時間発展は、

rho_0(t) = U(t)rho_0(0)U^{-1}(t)

rho_0(t)rho_0(t) = U(t)rho_0(0)U^{-1}(t) U(t)rho_0(0)U^{-1}(t)
                 = U(t)rho_0(0)rho_(0)U^{-1}(t)
                 = U(t)rho_0(0)U^{-1}(t)
                 = rho_0(t)

観測装置と観測対象との相互作用は局所的（量子力学でも、相互作用は常に局所 的です）で、遠方にあるもう片方の粒子には影響しません（相互作用は及びませ ん）が、この観測に起因して、その観測が行なわれた瞬間に、遠方にあるもう片 方の粒子の状態が確定してしまいます。

ここで重要なことは、片方の粒子が観測される前に遠方にあるもう片方の粒子 の状態が決まっていたと考えることはできない、ということです。（でなければ、 ベルの不等式を満たしてしまいます。）

ＥＰＲ現象の本質も波束の収縮です。初めに用意された２粒子の状態をシュレー ディンガー方程式に従って時間発展させてもこの現象は出てきません。

トレースを使うと本質が見えなくなってしまいます （トレース操作の中に波束の収縮の仮定が入り込んでいます） ので、ここでは状態ベクトルの変化を時間的な経過に沿って追跡してみましす。

初めに、スピン 1/2 の２つの粒子（１及び２）が一重項状態にあったとします：

|> = 1 / sqrt(2) (|u>|d> - |d>|u>)

S_z |u> =  1/2 |u>
S_z |d> = -1/2 |d>

|> -> |u>|d>           ... P1(u) = 1/2
|> -> |d>|u>           ... P1(d) = 1/2

それぞれの場合について、ひきづづいて粒子２の S_z'（S_z に対して角度 a を なす方向のスピンの成分）を観測すると、波束の収縮により、それぞれ

|u>|d> -> |u>|d'>      ... P2(d'|d) = |<d'|d>|^2 = cos^2 (a/2)
|u>|d> -> |u>|u'>      ... P2(u'|d) = |<u'|d>|^2 = sin^2 (a/2)

|d>|u> -> |d>|u'>      ... P2(u'|u) = |<u'|u>|^2 = cos^2 (a/2)
|d>|u> -> |d>|d'>      ... P2(d'|u) = |<d'|u>|^2 = sin^2 (a/2)

P(dd') = P1(d) P2(d'|u) = 1/2 sin^2 (a/2)
P(du') = P1(d) P2(u'|u) = 1/2 cos^2 (a/2)
P(ud') = P1(u) P2(d'|d) = 1/2 cos^2 (a/2)
P(uu') = P1(u) P2(u'|d) = 1/2 sin^2 (a/2)

P(uu'') <= P(uu') + P(u'u'')

sin^2 (a) <= 2 sin^2 (a/2)

0 < a < pi / 2

P(.u') = P(du') + P(uu') = 1/2 {cos^2 (a/2) + sin^2 (a/2)} = 1/2
P(.d') = P(dd') + P(ud') = 1/2 {sin^2 (a/2) + cos^2 (a/2)} = 1/2

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