ある座標系狽、その座標軸をX, Y, Z、原点をOとして、
| ( O : X Y Z ) |
という感じで表記します。原点が重要でない場合は原点の表記を省略します。
また、ベクトルA = ( Ax Ay Az )が狽基準とした座標で表されていることを強調したい場合、
A()という表記を用いることにします。
では話を戻して。
基準となる座標系(X, Y, Z)と、もうひとつ別の座標系'(X'(), Y'(), Z'())を定めます。
'の原点O'は、念と一致しているとします。また、簡単のため各座標軸は単位ベクトルになっているとします。
さてある点P() = (Px Py Pz)を'を基準として見ると、Pの座標P(')はどうなるでしょうか？
簡単のため2Dで考えると次図のようになります。
(図1-6.1)(X, Y)からみたPの座標(Px Py)というのは、PのX, Yへの射影となります。
同様に、'(X', Y')からみたPの座標(Px' Py')は、PのX', Y'への射影となりますね。
ここでベクトルの内積を思い出してください。内積は射影を表すということでした。
各座標軸は単位ベクトルであるとしているので、'からみたPの座標は、
|
Px' = P()・X'() Py' = P()・Y'() |
で表せることになります。3次元でも同様です。
PおよびX', Y'は、狽基準としていることを忘れないでください。
また、この座標変換はPの位置を変えているのではないということに注意してください。
(Px Py)と(Px' Py')は異なる座標となるでしょうが、両方とも同じ点Pを表しています。
同じ点でも基準となる座標系によって異なる座標で表されるということです。
さてそろそろ行列に再登場していただきます。
ベクトルと行列の積(式1-4.4)を思い出してください。
P()からP(')への変換は、P()と'()の各軸との内積で表せるということでした。
これを行列を用いて書くと、
(式1-6.1)となります。(X'() Y'() Z'())は'()の各軸を列ベクトルとする行列です。
ひらたくいうと、
| P()からP(')への変換は、P()に'()の座標軸を列ベクトルとした行列を掛ける |
ということになります。
逆に'から狽ﾖの変換はどうでしょうか? つまり、()、'()、P(')が既知で、P()を求めたい場合です。
この場合、(')が分かれば(式1-6.1)でP()が求められます。まずは()の各軸を'に変換しましょう。
()は狽基準とした狽ﾌ座標軸なので、当然X = (1, 0, 0), Y = (0, 1, 0), Z = (0, 0, 1)です。
これを(式1-6.1)に従って変換すると、
(式1-6.2)となります。ここでX'xなどは、X'()のx成分などを指すとします。
あとは(')の各軸を列ベクトルとする行列ををつくり、それをP(')に掛ければP()が求まります。
では実際に行列を作ってみましょう。
(式1-6.3)あらやだ。(')を行ベクトルとする行列になってしまいました。結局、
| P(')からP()への変換は、P(')に'()の座標軸を行ベクトルとした行列を掛ける |
ということになります。
ここで、(')を列ベクトルとする行列をMc、行ベクトルとする行列をMr、
P()とP(')をそれぞれP、P'と書くことにして、
PMcMr
というのを考えてみましょう。PMc = P'ですから上式はP'Mrとなり、
P'Mr = Pなんで結局
PMcMr = P
になります。"P()を'に変換したものを狽ﾉ変換"すれば元に戻って当然です。
さてここで行列の積では結合法則( (AB)C = A(BC) )が成り立つことを思い出してください。
すると上式は
P(McMr) = P
と書けます。Pに(McMr)を掛けてもPのままということは、
(McMr)は単位行列Eであることになります。さらに、
McMr = E
であるということは、MrはMcの逆行列Mc-1であることを意味します。
見方をかえると、逆行列M-1はMの逆変換を表すということがいえます。
ん…? MrはMcの行と列を入れ替えたものといえますよね。つまり転置行列です。
ということは、Mt = M-1ということか?
はい、この場合はそうなります。ただし一般に成り立つわけではありません。
Mt = M-1が成り立つ行列を直交行列といい、上でやった
"直交座標軸方向の単位ベクトルを列(行)とする行列"というのは直交行列になってます。
この直交行列というのは3Dプログラムで頻繁に使うので、その逆行列は転置行列に等しいというのは覚えておきましょう。
(図1-6.2)