閉区間[ a, b ]で連続な関数 y = f(x) を考えます。
このf(x)とx軸、x = a、y = bで囲まれた領域Rの面積Sを求めてみましょう。

(図2-3.1)

図のように領域Rを幅�凅のn個の帯に分割し、各々の帯の面積を
幅�凅、高さf(x_i)の長方形の面積で近似すると、面積Sは



で近似されます。分割幅�凅が限りなく小さくなるように分割を細かくしていくと、
つまり(式2-3.1)でn→∞とした極限は面積Sに等しくなります。これを

(式2-3.1)

と表し、関数f(x)のaからbまでの定積分と呼びます。

定積分には次のような性質があります。

(式2-3.2)

(4)について一応説明。簡単のため[a, b]でf(x)>=0とします。
左辺はf(x)とx軸、x=a、x=bで囲まれた領域の面積Sと等しいわけですが、
このSと同じ面積の幅(b-a)、高さhの長方形を考えてみましょう。
hは明らかにf(x)の[a, b]での最小値以上で最大値以下となります。
で、f(x)は連続関数であるので[a, b]で最小値と最大値の間の全ての値をとり、
h = f(c)となるようなc( a < c < b )が存在します。ということです。
平均値の定理は、

(式2-3.3)

と書いたりもします。意味は同じです。

　定積分(式2-3.1)で、積分範囲の下限aを固定し、上限bを変数として
それを改めてxとおき、関数

(式2-3.4)

を定義します。xを�凅だけ増加させたF(x+�凅)を考えると、(式2-3.2)の(3)から



となり、これに平均値の定理(式2-3.4)を使うと



が得られます。ここで�凅→0の極限を考えると左辺は導関数の定義そのものであり、
f(x)は連続関数としているので右辺はf(x)となります。つまり

(式2-3.5)

ということになります。これを微積分の基本定理といいます。
よーするに微分と積分は表裏一体なわけです。F(x)をf(x)の原始関数といいます。。
F(x)をf(x)の原始関数とすると、Cを任意の定数としてF(x)+Cもf(x)の原始関数となります。
なぜなら定数の微分は0になるから。

ではあらためて

(式2-3.6)

とおきます。F(x)は微分するとf(x)になる関数(原始関数)で、Cは任意定数です。
F(x)の求め方は次あたりでやるとして、とりあえずF(x)が求まったとして進めます。
x=a とおくと左辺は明らかに0となり、C = -F(a) となります。
これを(式2-3.6)に入れて x=b とおくと、

(式2-3.7)

となり、めでたく定積分の値が求まりました。
ようするに、定積分の値は原始関数の積分上限での値から下限での値を引いたものになります。
(式2-3.7)を



というふうに表記することも多いです。