2-3.2 定積分でさらっと流した原始関数の求め方です。
f(x)の原始関数F(x)を求める演算を

(式2-4.1)

と書き、これを不定積分といいます。定数Cを積分定数といいます。


不定積分は微分の逆演算であるので(式2-2.1)を逆に読めばOKです。
幾つか例を挙げときます。

(式2-4.2)

少ないですか? 手抜きですか?
右辺を微分するとサ変になることを確かめてみましょう。なんじゃサ変って。
サ行変格活用ですか? 字あってますか? 左辺じゃヴぉけ。


続けて不定積分の性質を幾つか。

(式2-4.3)

1) 不定積分を微分すると元の関数になる。
2) 導関数の不定積分は原始関数になる。
3) 定数は外に出せる。
4) 関数の和の不定積分は各々の不定積分の和。
ってとこです。

　不定積分を求める小技を2つほど。


まずは置換積分なるものから。
∫f(x)dx の変数xを、新しい変数tの関数g(t)を用いて x = g(t) とおいて積分する方法です。
g(t)は積分が簡単になるように適当に決めます。慣れです。私は慣れてません。
x = g(t) とおき、f(x)の原始関数(つまり求めたい関数)をF(x)とすると、
合成関数の微分法により



であるので

(式2-4.4)

となります。
記号操作上は x = g(t) と dx = g'(t)dt を∫f(x)dxに代入すると考えると分かりやすいかと。

実例を1つ。





次に部分積分と呼ばれるものを。
(式2-2.2)で既出のとおり、関数の積の微分は



となります。こいつの両辺を積分すると、

(式2-4.5)

…だからどうした。などといわずに log(x) の不定積分を求めてみましょう。




もういつのことだか憶えていませんが、これを最初に習ったとき僕は思いました。
「大人って汚い」と。