以下のものは私の勉強ノートのようなものです。
あとでグラフなどを書き入れてみようと考えています。
素数を４で割った剰余で分類します。
π4,1(x) π4,3(x)をそれぞれｘまでの剰余１および剰余３の素数の個数とすると
Poussinによってｘまでのそれらの個数は
π4,1(x)
------ 〜 1/2
π（ｘ）
〜 1/2
π4,3(x)
------〜 1/2
π（ｘ）
（これらの式の〜はｘをどんどん大きくしていくと、左辺の値が1/2にどんどん近づくという意味です。）
であることが知られています。（「素数の世界」156p）
（π(x)はｘまでの素数の個数）
これらの式はπ4,1(x) 、π4,3(x)が「ひとしく」分布していることをあらわします。
一方で２９４６番目の素数２６８６１ではじめてπ4,1(x)＞π4,3(x)であることが1957年にLeechという人によって計算されているそうです。
（以上上記の本などからの受け売りです。）
コンピュータで実験をしてみますと、そのあと再び不等号は反転します。ユタ大学のデータで6万個くらいを調べると50378番目の素数
616841で再びπ4,1(x)＞π4,3(x)となります。
また、この不等号は無限に反転することがすでに知られているそうです。
webを検索していると
http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/PrimeQuadraticEffect.htm
というところに
Berndtという人が1994年に
Δ(X)=π4,3(x) -π4,1(x)〜(1/2)π（X^(1/2))>0
というものを証明したとありました。
ということは「差」は縮まらないことが分かります。
この「先」Δ（Ｘ）がどのように動くのかというのは見てみたい気がします。